Номер 2.114, страница 65 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.114. Постройте сечение, проходящее через середины двух соседних боковых ребер правильной четырехугольной пирамиды и перпендикулярное плоскости основания.

Для построения искомого сечения правильной четырехугольной пирамиды выполним следующие шаги анализа и построения.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и квадратным основанием $ABCD$. Пусть $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Тогда высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

По условию, сечение должно проходить через середины двух соседних боковых ребер. Выберем ребра $SA$ и $SB$ и обозначим их середины как $M$ и $N$ соответственно.

Также по условию, плоскость сечения должна быть перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Построение и доказательство

1. Анализ. Искомая плоскость сечения $\alpha$ содержит точки $M$ и $N$, а следовательно, и прямую $MN$. Так как $M$ и $N$ — середины сторон $SA$ и $SB$ в треугольнике $\Delta SAB$, то отрезок $MN$ является его средней линией. Отсюда следует, что прямая $MN$ параллельна прямой $AB$ ($MN \parallel AB$), которая лежит в плоскости основания.

2. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Следовательно, любая прямая, параллельная $SO$, также перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Таким образом, наша задача сводится к построению плоскости, проходящей через прямую $MN$ и параллельной высоте $SO$.

3. Построение.

• Отмечаем точки $M$ и $N$ — середины боковых ребер $SA$ и $SB$. Соединяем их отрезком $MN$.
• Через точку $M$ проводим прямую, параллельную высоте $SO$. Так как $M \in SA$ и $O \in AC$, эта прямая лежит в плоскости диагонального сечения $(SAC)$ и пересекает отрезок $AO$ в некоторой точке $P$.
• В треугольнике $\Delta ASO$ отрезок $MP$ параллелен $SO$ и выходит из середины стороны $SA$. По теореме Фалеса, $P$ является серединой отрезка $AO$.
• Аналогично, через точку $N$ проводим прямую, параллельную $SO$. Эта прямая лежит в плоскости $(SBD)$ и пересекает отрезок $BO$ в точке $Q$. По теореме Фалеса, $Q$ является серединой отрезка $BO$.
• Соединяем точки $P$ и $Q$. Отрезок $PQ$ лежит в плоскости основания.
• Полученный четырехугольник $MNQP$ и есть искомое сечение.

Вместо ребер $SA$ и $SB$ можно было выбрать любую другую пару соседних боковых ребер, например, $SA$ и $SD$, как показано на рисунке. В этом случае $M$ — середина $SA$, $N$ — середина $SD$, $P$ — середина $AO$, $Q$ — середина $DO$. Построение и доказательство аналогичны.

4. Доказательство. Построенная плоскость $(MNQP)$ проходит через точки $M$ и $N$ по построению. Прямая $MP$ была построена параллельно высоте $SO$. Так как $SO \perp (ABC)$, то и $MP \perp (ABC)$. Поскольку плоскость $(MNQP)$ содержит прямую $MP$, перпендикулярную плоскости $(ABC)$, то по признаку перпендикулярности плоскостей $(MNQP) \perp (ABC)$. Таким образом, построенное сечение удовлетворяет всем условиям задачи.

5. Вид сечения. В $\Delta SAB$ отрезок $MN$ является средней линией, поэтому $MN \parallel AB$ и $MN = \frac{1}{2}AB$. В $\Delta ABO$ отрезок $PQ$ является средней линией, т.к. $P$ и $Q$ — середины сторон $AO$ и $BO$. Поэтому $PQ \parallel AB$ и $PQ = \frac{1}{2}AB$. Из $MN \parallel AB$ и $PQ \parallel AB$ следует, что $MN \parallel PQ$. Значит, $MNQP$ — трапеция (или параллелограмм). Рассмотрим боковые стороны трапеции $MP$ и $NQ$. В $\Delta ASO$ отрезок $MP$ является средней линией, $MP \parallel SO$ и $MP = \frac{1}{2}SO$. В $\Delta BSO$ отрезок $NQ$ является средней линией, $NQ \parallel SO$ и $NQ = \frac{1}{2}SO$. Следовательно, $MP=NQ$. Трапеция, у которой боковые стороны равны, является равнобедренной.

Ответ: Искомое сечение — равнобедренная трапеция $MNQP$, где $M$ и $N$ — середины двух соседних боковых ребер (например, $SA$ и $SB$), а точки $P$ и $Q$ — середины отрезков диагоналей основания, лежащих между вершинами основания и его центром (соответственно, $P$ — середина $AO$ и $Q$ — середина $BO$).