Номер 3.13, страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.13. Пусть ABCDEF - правильный шестиугольник, O - его центр. Полагая $\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, выразите $\vec{OC}$, $\vec{OD}$, $\vec{OE}$, $\vec{OF}$, $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{ED}$, $\vec{EC}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Пусть $ABCDEF$ — правильный шестиугольник с центром в точке $O$. В правильном шестиугольнике все стороны равны, и он состоит из шести равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$. Из этого следуют важные векторные соотношения:

1. Векторы, идущие из центра к вершинам, противоположным друг другу, являются противоположными. Например, $\vec{OD} = -\vec{OA}$, $\vec{OE} = -\vec{OB}$, $\vec{OF} = -\vec{OC}$.

2. Некоторые стороны шестиугольника параллельны и равны по длине радиусам, проведенным к другим вершинам. Например, $\vec{BC}$ сонаправлен с $\vec{AO}$, а $\vec{AB}$ сонаправлен с $\vec{OC}$.

Используем данные: $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

$\vec{OC}$
Вектор $\vec{OC}$ можно найти по правилу сложения векторов: $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC}$. В правильном шестиугольнике сторона $\vec{BC}$ параллельна, равна по длине и сонаправлена с вектором $\vec{AO}$. Вектор $\vec{AO}$ противоположен вектору $\vec{OA}$. Таким образом, $\vec{AO} = -\vec{OA} = -\vec{a}$. Следовательно, $\vec{BC} = \vec{AO} = -\vec{a}$. Подставим это в первое выражение: $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC} = \vec{b} + (-\vec{a}) = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{OC} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{OD}$
Точки $A$, $O$ и $D$ лежат на одной прямой (большая диагональ шестиугольника). Вектор $\vec{OD}$ равен по модулю вектору $\vec{OA}$, но направлен в противоположную сторону. Следовательно, $\vec{OD} = -\vec{OA} = -\vec{a}$.
Ответ: $\vec{OD} = -\vec{a}$

$\vec{OE}$
Аналогично, точки $B$, $O$ и $E$ лежат на одной прямой. Вектор $\vec{OE}$ противоположен вектору $\vec{OB}$. Следовательно, $\vec{OE} = -\vec{OB} = -\vec{b}$.
Ответ: $\vec{OE} = -\vec{b}$

$\vec{OF}$
Точки $C$, $O$ и $F$ лежат на одной прямой. Вектор $\vec{OF}$ противоположен вектору $\vec{OC}$. Используя найденное выражение для $\vec{OC}$: $\vec{OF} = -\vec{OC} = -(\vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{OF} = \vec{a} - \vec{b}$

$\vec{AB}$
По правилу разности векторов: $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$. Подставляя данные значения, получаем: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$. (Заметим, что $\vec{AB} = \vec{OC}$, что является свойством правильного шестиугольника).
Ответ: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{BC}$
Как было показано при нахождении $\vec{OC}$, вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AO}$. $\vec{AO} = -\vec{OA} = -\vec{a}$. Следовательно, $\vec{BC} = -\vec{a}$.
Ответ: $\vec{BC} = -\vec{a}$

$\vec{ED}$
По правилу разности векторов: $\vec{ED} = \vec{OD} - \vec{OE}$. Мы уже нашли, что $\vec{OD} = -\vec{a}$ и $\vec{OE} = -\vec{b}$. $\vec{ED} = (-\vec{a}) - (-\vec{b}) = \vec{b} - \vec{a}$. (Заметим, что $\vec{ED}$ параллельна, равна по длине и сонаправлена с $\vec{AB}$).
Ответ: $\vec{ED} = \vec{b} - \vec{a}$

$\vec{EC}$
По правилу разности векторов: $\vec{EC} = \vec{OC} - \vec{OE}$. Мы знаем, что $\vec{OC} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{OE} = -\vec{b}$. $\vec{EC} = (\vec{b} - \vec{a}) - (-\vec{b}) = \vec{b} - \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{EC} = 2\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{AC}$
По правилу сложения векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Мы уже нашли, что $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{BC} = -\vec{a}$. $\vec{AC} = (\vec{b} - \vec{a}) + (-\vec{a}) = \vec{b} - 2\vec{a}$.
Ответ: $\vec{AC} = \vec{b} - 2\vec{a}$

$\vec{AD}$
Вектор $\vec{AD}$ — это большая диагональ шестиугольника. Его можно представить как сумму $\vec{AO} + \vec{OD}$. $\vec{AO} = -\vec{a}$ и $\vec{OD} = -\vec{a}$. $\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD} = (-\vec{a}) + (-\vec{a}) = -2\vec{a}$. Также можно было найти по правилу разности: $\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = -\vec{a} - \vec{a} = -2\vec{a}$.
Ответ: $\vec{AD} = -2\vec{a}$