Страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.25. Дан четырехугольник $ABCD$ и произвольная точка $O$ пространства. Если выполняется равенство $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$, то $ABCD$ – параллелограмм (утверждение, обратное утверждению из задачи 3.24). Докажите.

Доказательство.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$ и произвольная точка пространства $O$. По условию задачи выполняется следующее векторное равенство:
$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$

Преобразуем это равенство, выполнив перенос векторов для их группировки. Перенесем вектор $\vec{OB}$ в левую часть, а вектор $\vec{OC}$ — в правую часть равенства, изменив их знаки:
$\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{OD} - \vec{OC}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов, согласно которому разность двух векторов, исходящих из одной точки, есть вектор, соединяющий их концы. Формально: $\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$.
Применительно к нашему равенству:
Левая часть: $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$
Правая часть: $\vec{OD} - \vec{OC} = \vec{CD}$

Подставив полученные результаты в преобразованное равенство, мы приходим к следующему равенству векторов:
$\vec{BA} = \vec{CD}$

Равенство векторов $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ означает, что они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (сонаправлены). Геометрически это значит, что отрезки $BA$ и $CD$ параллельны и равны по длине:
$BA \parallel CD$ и $|BA| = |CD|$.

Согласно одному из признаков параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.26. Дан параллелограмм ABCD. Точки P и Q являются серединами сторон AB и BC соответственно. Докажите, что $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$.

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилами действий с векторами. Изобразим параллелограмм $ABCD$ и точки $P$ и $Q$ на нем. Точка $P$ — середина стороны $AB$, а точка $Q$ — середина стороны $BC$.

Вектор $\vec{PQ}$ можно выразить как сумму векторов по правилу треугольника. Выберем путь из точки $P$ в точку $Q$ через вершину $B$:

$\vec{PQ} = \vec{PB} + \vec{BQ}$

По условию, точка $P$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что вектор, идущий из точки $P$ в точку $B$, составляет половину вектора $\vec{AB}$ и имеет то же направление:

$\vec{PB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

Аналогично, точка $Q$ является серединой стороны $BC$. Это означает, что вектор $\vec{BQ}$ равен половине вектора $\vec{BC}$ и сонаправлен с ним:

$\vec{BQ} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Теперь подставим полученные выражения для векторов $\vec{PB}$ и $\vec{BQ}$ в исходное равенство для вектора $\vec{PQ}$:

$\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}$

Вынесем общий скалярный множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})$

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Следует отметить, что по правилу сложения векторов $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Следовательно, мы доказали, что $\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Это соответствует свойству средней линии $PQ$ треугольника $ABC$, которая параллельна основанию $AC$ и равна его половине. Факт, что фигура $ABCD$ является параллелограммом, для данного доказательства не использовался.

Ответ: Равенство $\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})$ доказано.

3.27. В пространстве даны два параллелограмма $ABCD$ и $A_1 B_1 C_1 D_1$. Докажите, что середины отрезков $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ являются вершинами параллелограмма.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве произвольное начало отсчета O и обозначим радиус-векторы вершин параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ и $\vec{a_1}, \vec{b_1}, \vec{c_1}, \vec{d_1}$ соответственно.

Из определения параллелограмма следует, что сумма радиус-векторов его противолежащих вершин равна. Это свойство можно записать в виде равенства середин диагоналей: $\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2} = \frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$, что эквивалентно $\vec{a}+\vec{c} = \vec{b}+\vec{d}$.

Таким образом, для параллелограмма $ABCD$ справедливо равенство:
$\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$ (1)

Аналогично для параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$ справедливо равенство:
$\vec{a_1} + \vec{c_1} = \vec{b_1} + \vec{d_1}$ (2)

Пусть точки $K, L, M, N$ — середины отрезков $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ соответственно. Найдем их радиус-векторы, используя формулу середины отрезка:
Радиус-вектор точки $K$: $\vec{k} = \frac{\vec{a} + \vec{a_1}}{2}$
Радиус-вектор точки $L$: $\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{b_1}}{2}$
Радиус-вектор точки $M$: $\vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{c_1}}{2}$
Радиус-вектор точки $N$: $\vec{n} = \frac{\vec{d} + \vec{d_1}}{2}$

Чтобы доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом, достаточно показать, что середины его диагоналей $KM$ и $LN$ совпадают. Это эквивалентно выполнению векторного равенства $\vec{k} + \vec{m} = \vec{l} + \vec{n}$.

Рассмотрим сумму радиус-векторов вершин $K$ и $M$:
$\vec{k} + \vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{a_1}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{c_1}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c} + \vec{a_1} + \vec{c_1})$

Теперь рассмотрим сумму радиус-векторов вершин $L$ и $N$:
$\vec{l} + \vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{b_1}}{2} + \frac{\vec{d} + \vec{d_1}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d} + \vec{b_1} + \vec{d_1})$

Сложим почленно равенства (1) и (2), которые являются свойствами исходных параллелограммов:
$(\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{a_1} + \vec{c_1}) = (\vec{b} + \vec{d}) + (\vec{b_1} + \vec{d_1})$

Из этого следует, что выражения для сумм $\vec{k} + \vec{m}$ и $\vec{l} + \vec{n}$ равны:
$\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{c} + \vec{a_1} + \vec{c_1}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{d} + \vec{b_1} + \vec{d_1})$
Следовательно, $\vec{k} + \vec{m} = \vec{l} + \vec{n}$.

Так как суммы радиус-векторов противоположных вершин четырехугольника $KLMN$ равны, то этот четырехугольник является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.28. Докажите, что для двух неколлинеарных векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, исходящих из одной точки, вектор $|\vec{m}|\vec{n}+|\vec{n}|\vec{m}$ коллинеарен биссектрисе угла $(\vec{m},\vec{n})$, а вектор $|\vec{n}|\vec{m}-|\vec{m}|\cdot\vec{n}$ коллинеарен биссектрисе смежного с ним угла.

Для доказательства воспользуемся геометрическим свойством ромба: его диагональ является биссектрисой угла между его сторонами. Иными словами, сумма двух векторов равной длины направлена по биссектрисе угла между ними.

Пусть даны два неколлинеарных вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$, исходящие из одной точки $O$.

Доказательство для вектора $|\vec{m}|\vec{n} + |\vec{n}|\vec{m}$

Рассмотрим вектор $\vec{v_1} = |\vec{m}|\vec{n} + |\vec{n}|\vec{m}$. Этот вектор является суммой двух векторов: $\vec{a} = |\vec{n}|\vec{m}$ и $\vec{b} = |\vec{m}|\vec{n}$.

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{a}| = ||\vec{n}|\vec{m}| = |\vec{n}| \cdot |\vec{m}|$

$|\vec{b}| = ||\vec{m}|\vec{n}| = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}|$

Следовательно, $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют одинаковую длину.

Вектор $\vec{a} = |\vec{n}|\vec{m}$ коллинеарен и сонаправлен с вектором $\vec{m}$ (поскольку $|\vec{n}| > 0$).

Вектор $\vec{b} = |\vec{m}|\vec{n}$ коллинеарен и сонаправлен с вектором $\vec{n}$ (поскольку $|\vec{m}| > 0$).

Таким образом, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен углу между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Сумма двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равной длины, отложенных от одной точки, представляет собой диагональ ромба, построенного на этих векторах. Эта диагональ делит угол между сторонами ромба пополам. Следовательно, вектор $\vec{v_1} = \vec{a} + \vec{b}$ направлен по биссектрисе угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а значит, и по биссектрисе угла $(\vec{m}, \vec{n})$.

Ответ: Утверждение доказано. Вектор $|\vec{m}|\vec{n} + |\vec{n}|\vec{m}$ коллинеарен биссектрисе угла $(\vec{m}, \vec{n})$.

Доказательство для вектора $|\vec{n}|\vec{m} - |\vec{m}|\vec{n}$

Рассмотрим вектор $\vec{v_2} = |\vec{n}|\vec{m} - |\vec{m}|\vec{n}$. Представим его в виде суммы: $\vec{v_2} = |\vec{n}|\vec{m} + (-|\vec{m}|\vec{n})$.

Этот вектор является суммой двух векторов: $\vec{c} = |\vec{n}|\vec{m}$ и $\vec{d} = -|\vec{m}|\vec{n}$.

Найдем длины этих векторов:

$|\vec{c}| = ||\vec{n}|\vec{m}| = |\vec{n}| \cdot |\vec{m}|$

$|\vec{d}| = ||-|\vec{m}|\vec{n}|| = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}|$

Следовательно, $|\vec{c}| = |\vec{d}|$. Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ имеют одинаковую длину.

Вектор $\vec{c} = |\vec{n}|\vec{m}$ коллинеарен и сонаправлен с вектором $\vec{m}$.

Вектор $\vec{d} = -|\vec{m}|\vec{n}$ коллинеарен вектору $\vec{n}$, но направлен в противоположную сторону, то есть сонаправлен с вектором $-\vec{n}$.

Таким образом, угол между векторами $\vec{c}$ и $\vec{d}$ равен углу между векторами $\vec{m}$ и $-\vec{n}$. Угол $(\vec{m}, -\vec{n})$ является смежным с углом $(\vec{m}, \vec{n})$.

Аналогично первому случаю, сумма векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$ равной длины, $\vec{v_2} = \vec{c} + \vec{d}$, направлена по биссектрисе угла между ними. Следовательно, вектор $\vec{v_2}$ коллинеарен биссектрисе угла $(\vec{m}, -\vec{n})$, то есть биссектрисе угла, смежного с углом $(\vec{m}, \vec{n})$.

Ответ: Утверждение доказано. Вектор $|\vec{n}|\vec{m} - |\vec{m}|\vec{n}$ коллинеарен биссектрисе угла, смежного с углом $(\vec{m}, \vec{n})$.

3.29. В пространстве даны два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Покажите, что $\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = 3 \cdot \vec{OO_1}$, где $O$ и $O_1$ – точки пересечения медиан данных треугольников.

Пусть $M$ — произвольная точка в пространстве. Точка $O$ является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника $ABC$. Радиус-вектор центроида треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Следовательно, для точки $O$ справедливо равенство, выражающее её радиус-вектор $\vec{MO}$ через радиус-векторы вершин: $\vec{MO} = \frac{1}{3}(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC})$.

Аналогично, для точки $O_1$, которая является центроидом треугольника $A_1B_1C_1$, справедливо равенство: $\vec{MO_1} = \frac{1}{3}(\vec{MA_1} + \vec{MB_1} + \vec{MC_1})$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства. Используя правило разности векторов ($\vec{XY} = \vec{MY} - \vec{MX}$), представим каждый вектор как разность радиус-векторов, проведенных из точки $M$:

$\vec{AA_1} = \vec{MA_1} - \vec{MA}$
$\vec{BB_1} = \vec{MB_1} - \vec{MB}$
$\vec{CC_1} = \vec{MC_1} - \vec{MC}$

Сложим эти три векторных равенства и сгруппируем слагаемые:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = (\vec{MA_1} - \vec{MA}) + (\vec{MB_1} - \vec{MB}) + (\vec{MC_1} - \vec{MC}) = (\vec{MA_1} + \vec{MB_1} + \vec{MC_1}) - (\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC})$

Из определения радиус-векторов центроидов $O$ и $O_1$ имеем:

$3\vec{MO} = \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}$
$3\vec{MO_1} = \vec{MA_1} + \vec{MB_1} + \vec{MC_1}$

Подставим эти выражения в полученное равенство:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = 3\vec{MO_1} - 3\vec{MO}$

Вынесем общий множитель 3 за скобки:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = 3(\vec{MO_1} - \vec{MO})$

Поскольку разность векторов $\vec{MO_1} - \vec{MO}$ равна вектору $\vec{OO_1}$, мы приходим к искомому равенству:

$\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = 3\vec{OO_1}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

3.30. Дан треугольник $ABC$ и $O$ – произвольная точка пространства. Пусть $A_1, B_1, C_1$ – середины сторон $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что равнодействующая сил $\vec{OA}, \vec{OB}$ и $\vec{OC}$ равна равнодействующей сил $\vec{OA_1}, \vec{OB_1}$ и $\vec{OC_1}$.

Равнодействующая сил представляет собой их векторную сумму. Следовательно, задача состоит в том, чтобы доказать векторное равенство:

$ \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} $

Рассмотрим правую часть этого равенства. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Вектор, проведенный из некоторой точки пространства $O$ в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведенных из той же точки $O$ в концы этого отрезка.

Применим это правило для векторов $\vec{OA_1}$, $\vec{OB_1}$ и $\vec{OC_1}$:

Поскольку $A_1$ — середина стороны $BC$, то радиус-вектор точки $A_1$ относительно точки $O$ выражается как:
$ \vec{OA_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) $

Поскольку $B_1$ — середина стороны $AC$, то:
$ \vec{OB_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) $

Поскольку $C_1$ — середина стороны $AB$, то:
$ \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) $

Теперь найдем сумму этих трех векторов (равнодействующую сил $\vec{OA_1}$, $\vec{OB_1}$ и $\vec{OC_1}$):

$ \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) $

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем одинаковые векторы:

$ \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OA} + \vec{OC} + \vec{OA} + \vec{OB}) $

$ \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(2\vec{OA} + 2\vec{OB} + 2\vec{OC}) $

Вынесем множитель 2 из скобок и сократим его:

$ \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{2}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $

$ \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} $

Таким образом, мы доказали, что равнодействующая сил $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ равна равнодействующей сил $\vec{OA_1}$, $\vec{OB_1}$ и $\vec{OC_1}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Векторная сумма $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ равна векторной сумме $\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1}$.