Номер 3.30, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.30. Дан треугольник $ABC$ и $O$ – произвольная точка пространства. Пусть $A_1, B_1, C_1$ – середины сторон $BC, AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что равнодействующая сил $\vec{OA}, \vec{OB}$ и $\vec{OC}$ равна равнодействующей сил $\vec{OA_1}, \vec{OB_1}$ и $\vec{OC_1}$.

Равнодействующая сил представляет собой их векторную сумму. Следовательно, задача состоит в том, чтобы доказать векторное равенство:

$ \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} $

Рассмотрим правую часть этого равенства. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Вектор, проведенный из некоторой точки пространства $O$ в середину отрезка, равен полусумме векторов, проведенных из той же точки $O$ в концы этого отрезка.

Применим это правило для векторов $\vec{OA_1}$, $\vec{OB_1}$ и $\vec{OC_1}$:

Поскольку $A_1$ — середина стороны $BC$, то радиус-вектор точки $A_1$ относительно точки $O$ выражается как:
$ \vec{OA_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) $

Поскольку $B_1$ — середина стороны $AC$, то:
$ \vec{OB_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) $

Поскольку $C_1$ — середина стороны $AB$, то:
$ \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) $

Теперь найдем сумму этих трех векторов (равнодействующую сил $\vec{OA_1}$, $\vec{OB_1}$ и $\vec{OC_1}$):

$ \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) + \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) $

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем одинаковые векторы:

$ \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OA} + \vec{OC} + \vec{OA} + \vec{OB}) $

$ \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{1}{2}(2\vec{OA} + 2\vec{OB} + 2\vec{OC}) $

Вынесем множитель 2 из скобок и сократим его:

$ \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \frac{2}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $

$ \vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} $

Таким образом, мы доказали, что равнодействующая сил $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ равна равнодействующей сил $\vec{OA_1}$, $\vec{OB_1}$ и $\vec{OC_1}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Векторная сумма $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ равна векторной сумме $\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1}$.