Номер 3.28, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.28. Докажите, что для двух неколлинеарных векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, исходящих из одной точки, вектор $|\vec{m}|\vec{n}+|\vec{n}|\vec{m}$ коллинеарен биссектрисе угла $(\vec{m},\vec{n})$, а вектор $|\vec{n}|\vec{m}-|\vec{m}|\cdot\vec{n}$ коллинеарен биссектрисе смежного с ним угла.

Для доказательства воспользуемся геометрическим свойством ромба: его диагональ является биссектрисой угла между его сторонами. Иными словами, сумма двух векторов равной длины направлена по биссектрисе угла между ними.

Пусть даны два неколлинеарных вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$, исходящие из одной точки $O$.

Доказательство для вектора $|\vec{m}|\vec{n} + |\vec{n}|\vec{m}$

Рассмотрим вектор $\vec{v_1} = |\vec{m}|\vec{n} + |\vec{n}|\vec{m}$. Этот вектор является суммой двух векторов: $\vec{a} = |\vec{n}|\vec{m}$ и $\vec{b} = |\vec{m}|\vec{n}$.

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{a}| = ||\vec{n}|\vec{m}| = |\vec{n}| \cdot |\vec{m}|$

$|\vec{b}| = ||\vec{m}|\vec{n}| = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}|$

Следовательно, $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют одинаковую длину.

Вектор $\vec{a} = |\vec{n}|\vec{m}$ коллинеарен и сонаправлен с вектором $\vec{m}$ (поскольку $|\vec{n}| > 0$).

Вектор $\vec{b} = |\vec{m}|\vec{n}$ коллинеарен и сонаправлен с вектором $\vec{n}$ (поскольку $|\vec{m}| > 0$).

Таким образом, угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен углу между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$.

Сумма двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равной длины, отложенных от одной точки, представляет собой диагональ ромба, построенного на этих векторах. Эта диагональ делит угол между сторонами ромба пополам. Следовательно, вектор $\vec{v_1} = \vec{a} + \vec{b}$ направлен по биссектрисе угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, а значит, и по биссектрисе угла $(\vec{m}, \vec{n})$.

Ответ: Утверждение доказано. Вектор $|\vec{m}|\vec{n} + |\vec{n}|\vec{m}$ коллинеарен биссектрисе угла $(\vec{m}, \vec{n})$.

Доказательство для вектора $|\vec{n}|\vec{m} - |\vec{m}|\vec{n}$

Рассмотрим вектор $\vec{v_2} = |\vec{n}|\vec{m} - |\vec{m}|\vec{n}$. Представим его в виде суммы: $\vec{v_2} = |\vec{n}|\vec{m} + (-|\vec{m}|\vec{n})$.

Этот вектор является суммой двух векторов: $\vec{c} = |\vec{n}|\vec{m}$ и $\vec{d} = -|\vec{m}|\vec{n}$.

Найдем длины этих векторов:

$|\vec{c}| = ||\vec{n}|\vec{m}| = |\vec{n}| \cdot |\vec{m}|$

$|\vec{d}| = ||-|\vec{m}|\vec{n}|| = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}|$

Следовательно, $|\vec{c}| = |\vec{d}|$. Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ имеют одинаковую длину.

Вектор $\vec{c} = |\vec{n}|\vec{m}$ коллинеарен и сонаправлен с вектором $\vec{m}$.

Вектор $\vec{d} = -|\vec{m}|\vec{n}$ коллинеарен вектору $\vec{n}$, но направлен в противоположную сторону, то есть сонаправлен с вектором $-\vec{n}$.

Таким образом, угол между векторами $\vec{c}$ и $\vec{d}$ равен углу между векторами $\vec{m}$ и $-\vec{n}$. Угол $(\vec{m}, -\vec{n})$ является смежным с углом $(\vec{m}, \vec{n})$.

Аналогично первому случаю, сумма векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$ равной длины, $\vec{v_2} = \vec{c} + \vec{d}$, направлена по биссектрисе угла между ними. Следовательно, вектор $\vec{v_2}$ коллинеарен биссектрисе угла $(\vec{m}, -\vec{n})$, то есть биссектрисе угла, смежного с углом $(\vec{m}, \vec{n})$.

Ответ: Утверждение доказано. Вектор $|\vec{n}|\vec{m} - |\vec{m}|\vec{n}$ коллинеарен биссектрисе угла, смежного с углом $(\vec{m}, \vec{n})$.