Вопросы?, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как строится прямоугольная декартова система координат в пространстве?

2. Что такое радиус-вектор точки? Как определить координаты радиус-вектора, произвольного вектора?

3. Как найти координаты вектора по координатам его концов?

4. Как найти координаты суммы и разности векторов?

5. Как умножить число на вектор?

6. Каким свойством обладают координаты равных коллинеарных векторов?

7. Как найти модуль вектора по его координатам?

8. Как найти расстояние между точками в пространстве?

1. Как строится прямоугольная декартова система координат в пространстве?

Прямоугольная декартова система координат в пространстве строится следующим образом:

1. Выбирается произвольная точка в пространстве, которая называется началом координат и обозначается буквой $O$.

2. Через начало координат проводятся три взаимно перпендикулярные прямые, которые называются осями координат. Их принято называть:

• Ось $Ox$ — ось абсцисс.
• Ось $Oy$ — ось ординат.
• Ось $Oz$ — ось аппликат.

3. На каждой из осей выбирается положительное направление, которое обычно указывается стрелкой.

4. Выбирается единичный отрезок (масштаб), который является единицей измерения длин по всем осям.

Эти три оси образуют три координатные плоскости: $Oxy$, $Oyz$ и $Oxz$, которые также взаимно перпендикулярны. Таким образом, положение любой точки в пространстве можно однозначно определить тремя числами — её координатами $(x, y, z)$.

Ответ: Прямоугольная декартова система координат в пространстве задается выбором точки (начала координат) и трех взаимно перпендикулярных направленных прямых (осей координат) с общей единицей измерения.

2. Что такое радиус-вектор точки? Как определить координаты радиус-вектора, произвольного вектора?

Радиус-вектор точки $M$ — это вектор, начало которого совпадает с началом координат $O$, а конец — с точкой $M$. Обозначается как $\vec{OM}$.

Координаты радиус-вектора точки $M$ совпадают с координатами самой точки $M$. Если точка $M$ имеет координаты $(x; y; z)$, то её радиус-вектор $\vec{OM}$ имеет координаты $\{x; y; z\}$.

Координаты произвольного вектора, например, вектора $\vec{AB}$, определяются как разность соответствующих координат его конца (точка $B$) и начала (точка $A$). Этот способ подробно описан в следующем пункте.

Ответ: Радиус-вектор точки — это вектор из начала координат в эту точку; его координаты равны координатам этой точки. Координаты произвольного вектора находятся вычитанием координат начальной точки из координат конечной точки.

3. Как найти координаты вектора по координатам его концов?

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала.Если задан вектор $\vec{AB}$ с начальной точкой $A(x_1; y_1; z_1)$ и конечной точкой $B(x_2; y_2; z_2)$, то его координаты вычисляются по формуле:

$\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$

Ответ: Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конечной и начальной точек.

4. Как найти координаты суммы и разности векторов?

Пусть даны два вектора $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2; b_3\}$.

Сумма векторов: Координаты вектора суммы $\vec{a} + \vec{b}$ равны сумме соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{a} + \vec{b} = \{a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3\}$

Разность векторов: Координаты вектора разности $\vec{a} - \vec{b}$ равны разности соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{a} - \vec{b} = \{a_1 - b_1; a_2 - b_2; a_3 - b_3\}$

Ответ: При сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются).

5. Как умножить число на вектор?

Чтобы умножить вектор на число (скаляр), необходимо каждую координату этого вектора умножить на данное число.Пусть дан вектор $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ и число $k$. Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ является вектор $k\vec{a}$, координаты которого вычисляются по формуле:

$k\vec{a} = \{k \cdot a_1; k \cdot a_2; k \cdot a_3\}$

Ответ: Для умножения вектора на число нужно каждую координату вектора умножить на это число.

6. Каким свойством обладают координаты равных коллинеарных векторов?

Во-первых, если два вектора равны, то они по определению коллинеарны (и сонаправлены, и имеют равные длины). Координаты равных векторов соответственно равны. Если $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2; b_3\}$ и при этом $\vec{a} = \vec{b}$, то:

$a_1 = b_1, a_2 = b_2, a_3 = b_3$

Во-вторых, основное свойство координат коллинеарных векторов (не обязательно равных) — их пропорциональность. Два ненулевых вектора $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2; b_3\}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число $k$ (коэффициент пропорциональности), что $\vec{b} = k\vec{a}$. В координатной форме это означает, что их соответствующие координаты пропорциональны:

$\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = \frac{b_3}{a_3} = k$ (если ни одна из координат вектора $\vec{a}$ не равна нулю).

Если же какая-то координата вектора $\vec{a}$ равна нулю, то и соответствующая координата коллинеарного ему вектора $\vec{b}$ также должна быть равна нулю.

Ответ: Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. У равных векторов соответствующие координаты равны (коэффициент пропорциональности равен 1).

7. Как найти модуль вектора по его координатам?

Модуль (или длина) вектора $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ обозначается как $|\vec{a}|$ и равен квадратному корню из суммы квадратов его координат. Формула для вычисления модуля:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Геометрически модуль вектора — это его длина.

Ответ: Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

8. Как найти расстояние между точками в пространстве?

Расстояние между двумя точками в пространстве равно модулю (длине) вектора, соединяющего эти точки.Пусть даны две точки: $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$. Расстояние $d$ между ними равно модулю вектора $\vec{AB}$.

1. Сначала находим координаты вектора $\vec{AB}$:$\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$

2. Затем находим модуль этого вектора по формуле из предыдущего пункта:

$d = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Ответ: Расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.