Номер 3.33, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.33. Выразите векторы $\vec{a} = (2; -3; 4)$, $\vec{b} = (-1; 1; 1)$, $\vec{c} = (0; 2; -3)$, $\vec{d} = (3; 0; 0)$, $\vec{p} = (0; -2; 0)$ и $\vec{q} = (0; 0; 2)$ через векторы $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

Для того чтобы выразить вектор, заданный своими координатами, через ортогональные единичные векторы (орты) $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$, используется его разложение по базису. Орты в декартовой системе координат имеют следующие координаты: $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$, $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Любой вектор $\vec{v} = (x; y; z)$ можно представить в виде суммы: $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Коэффициентами в этой сумме являются соответствующие координаты вектора.

$\vec{a} = (2; -3; 4)$
Координаты вектора $\vec{a}$ равны $x=2$, $y=-3$, $z=4$. Подставляя их в общую формулу разложения, получаем: $\vec{a} = 2\vec{i} + (-3)\vec{j} + 4\vec{k}$.
Ответ: $\vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 4\vec{k}$

$\vec{b} = (-1; 1; 1)$
Координаты вектора $\vec{b}$ равны $x=-1$, $y=1$, $z=1$. Разложение по базису: $\vec{b} = (-1)\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k}$. Коэффициенты, равные 1 или -1, обычно не пишут, оставляя только знак (для коэффициента 1) или только знак минуса (для -1).
Ответ: $\vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

$\vec{c} = (0; 2; -3)$
Координаты вектора $\vec{c}$ равны $x=0$, $y=2$, $z=-3$. Разложение по базису: $\vec{c} = 0\vec{i} + 2\vec{j} + (-3)\vec{k}$. Слагаемые с нулевыми коэффициентами принято опускать.
Ответ: $\vec{c} = 2\vec{j} - 3\vec{k}$

$\vec{d} = (3; 0; 0)$
Координаты вектора $\vec{d}$ равны $x=3$, $y=0$, $z=0$. Разложение по базису: $\vec{d} = 3\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}$. Опуская слагаемые с нулевыми коэффициентами, получаем:
Ответ: $\vec{d} = 3\vec{i}$

$\vec{p} = (0; -2; 0)$
Координаты вектора $\vec{p}$ равны $x=0$, $y=-2$, $z=0$. Разложение по базису: $\vec{p} = 0\vec{i} + (-2)\vec{j} + 0\vec{k}$.
Ответ: $\vec{p} = -2\vec{j}$

$\vec{q} = (0; 0; 2)$
Координаты вектора $\vec{q}$ равны $x=0$, $y=0$, $z=2$. Разложение по базису: $\vec{q} = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}$.
Ответ: $\vec{q} = 2\vec{k}$