Страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как строится прямоугольная декартова система координат в пространстве?

2. Что такое радиус-вектор точки? Как определить координаты радиус-вектора, произвольного вектора?

3. Как найти координаты вектора по координатам его концов?

4. Как найти координаты суммы и разности векторов?

5. Как умножить число на вектор?

6. Каким свойством обладают координаты равных коллинеарных векторов?

7. Как найти модуль вектора по его координатам?

8. Как найти расстояние между точками в пространстве?

1. Как строится прямоугольная декартова система координат в пространстве?

Прямоугольная декартова система координат в пространстве строится следующим образом:

1. Выбирается произвольная точка в пространстве, которая называется началом координат и обозначается буквой $O$.

2. Через начало координат проводятся три взаимно перпендикулярные прямые, которые называются осями координат. Их принято называть:

• Ось $Ox$ — ось абсцисс.
• Ось $Oy$ — ось ординат.
• Ось $Oz$ — ось аппликат.

3. На каждой из осей выбирается положительное направление, которое обычно указывается стрелкой.

4. Выбирается единичный отрезок (масштаб), который является единицей измерения длин по всем осям.

Эти три оси образуют три координатные плоскости: $Oxy$, $Oyz$ и $Oxz$, которые также взаимно перпендикулярны. Таким образом, положение любой точки в пространстве можно однозначно определить тремя числами — её координатами $(x, y, z)$.

Ответ: Прямоугольная декартова система координат в пространстве задается выбором точки (начала координат) и трех взаимно перпендикулярных направленных прямых (осей координат) с общей единицей измерения.

2. Что такое радиус-вектор точки? Как определить координаты радиус-вектора, произвольного вектора?

Радиус-вектор точки $M$ — это вектор, начало которого совпадает с началом координат $O$, а конец — с точкой $M$. Обозначается как $\vec{OM}$.

Координаты радиус-вектора точки $M$ совпадают с координатами самой точки $M$. Если точка $M$ имеет координаты $(x; y; z)$, то её радиус-вектор $\vec{OM}$ имеет координаты $\{x; y; z\}$.

Координаты произвольного вектора, например, вектора $\vec{AB}$, определяются как разность соответствующих координат его конца (точка $B$) и начала (точка $A$). Этот способ подробно описан в следующем пункте.

Ответ: Радиус-вектор точки — это вектор из начала координат в эту точку; его координаты равны координатам этой точки. Координаты произвольного вектора находятся вычитанием координат начальной точки из координат конечной точки.

3. Как найти координаты вектора по координатам его концов?

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала.Если задан вектор $\vec{AB}$ с начальной точкой $A(x_1; y_1; z_1)$ и конечной точкой $B(x_2; y_2; z_2)$, то его координаты вычисляются по формуле:

$\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$

Ответ: Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конечной и начальной точек.

4. Как найти координаты суммы и разности векторов?

Пусть даны два вектора $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2; b_3\}$.

Сумма векторов: Координаты вектора суммы $\vec{a} + \vec{b}$ равны сумме соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{a} + \vec{b} = \{a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3\}$

Разность векторов: Координаты вектора разности $\vec{a} - \vec{b}$ равны разности соответствующих координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{a} - \vec{b} = \{a_1 - b_1; a_2 - b_2; a_3 - b_3\}$

Ответ: При сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются).

5. Как умножить число на вектор?

Чтобы умножить вектор на число (скаляр), необходимо каждую координату этого вектора умножить на данное число.Пусть дан вектор $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ и число $k$. Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ является вектор $k\vec{a}$, координаты которого вычисляются по формуле:

$k\vec{a} = \{k \cdot a_1; k \cdot a_2; k \cdot a_3\}$

Ответ: Для умножения вектора на число нужно каждую координату вектора умножить на это число.

6. Каким свойством обладают координаты равных коллинеарных векторов?

Во-первых, если два вектора равны, то они по определению коллинеарны (и сонаправлены, и имеют равные длины). Координаты равных векторов соответственно равны. Если $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2; b_3\}$ и при этом $\vec{a} = \vec{b}$, то:

$a_1 = b_1, a_2 = b_2, a_3 = b_3$

Во-вторых, основное свойство координат коллинеарных векторов (не обязательно равных) — их пропорциональность. Два ненулевых вектора $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ и $\vec{b} = \{b_1; b_2; b_3\}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое число $k$ (коэффициент пропорциональности), что $\vec{b} = k\vec{a}$. В координатной форме это означает, что их соответствующие координаты пропорциональны:

$\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = \frac{b_3}{a_3} = k$ (если ни одна из координат вектора $\vec{a}$ не равна нулю).

Если же какая-то координата вектора $\vec{a}$ равна нулю, то и соответствующая координата коллинеарного ему вектора $\vec{b}$ также должна быть равна нулю.

Ответ: Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. У равных векторов соответствующие координаты равны (коэффициент пропорциональности равен 1).

7. Как найти модуль вектора по его координатам?

Модуль (или длина) вектора $\vec{a} = \{a_1; a_2; a_3\}$ обозначается как $|\vec{a}|$ и равен квадратному корню из суммы квадратов его координат. Формула для вычисления модуля:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Геометрически модуль вектора — это его длина.

Ответ: Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

8. Как найти расстояние между точками в пространстве?

Расстояние между двумя точками в пространстве равно модулю (длине) вектора, соединяющего эти точки.Пусть даны две точки: $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$. Расстояние $d$ между ними равно модулю вектора $\vec{AB}$.

1. Сначала находим координаты вектора $\vec{AB}$:$\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$

2. Затем находим модуль этого вектора по формуле из предыдущего пункта:

$d = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Ответ: Расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.

Практическая работа

1. Постройте прямоугольную систему координат и отметьте на ней точки $A(-2; -3; 2)$ и $B(4; -2; 3)$.

2. Найдите координаты вектора $\vec{AB}$ и постройте соответствующий ему радиус-вектор.

1. Постройте прямоугольную систему координат и отметьте на ней точки A(-2; -3; 2) и B(4; -2; 3).

Для построения точек в трехмерной прямоугольной системе координат (Oxyz) необходимо для каждой точки последовательно отложить ее координаты вдоль соответствующих осей.
Чтобы построить точку A(-2; -3; 2), мы откладываем -2 единицы по оси Ox, затем из полученной точки проводим отрезок, параллельный оси Oy, длиной 3 единицы в отрицательном направлении, и, наконец, из конца этого отрезка проводим отрезок, параллельный оси Oz, длиной 2 единицы в положительном направлении.
Аналогично строится точка B(4; -2; 3).
Ниже представлено графическое изображение построенной системы координат с отмеченными точками A и B. Для наглядности показаны проекционные линии, образующие "путь" от начала координат к каждой точке.

Ответ: Точки A и B построены в прямоугольной системе координат, как показано на рисунке.

2. Найдите координаты вектора $\vec{AB}$ и постройте соответствующий ему радиус-вектор.

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами его начала и конца, нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала.
Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке A($x_A$; $y_A$; $z_A$) и концом в точке B($x_B$; $y_B$; $z_B$), его координаты вычисляются по формуле:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$
Подставим координаты данных точек A(-2; -3; 2) и B(4; -2; 3):
$x_{AB} = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$
$y_{AB} = -2 - (-3) = -2 + 3 = 1$
$z_{AB} = 3 - 2 = 1$
Следовательно, координаты вектора $\vec{AB}$ равны {6; 1; 1}.
Радиус-вектор — это вектор, начало которого совпадает с началом координат. Радиус-вектор, соответствующий вектору $\vec{AB}$, имеет те же координаты {6; 1; 1}, но отложен от точки O(0; 0; 0). Его конец будет находиться в точке C с координатами (6; 1; 1).
На приведенном выше рисунке вектор $\vec{AB}$ показан фиолетовым цветом. Соответствующий ему радиус-вектор $\vec{OC}$ показан зеленым цветом. Он начинается в начале координат O и заканчивается в точке C(6; 1; 1).

Ответ: Координаты вектора $\vec{AB}$ равны {6; 1; 1}. Соответствующий ему радиус-вектор $\vec{OC}$ построен на графике.

3.31. Отметьте в прямоугольной системе координат точки $A(2; 0; 0)$, $B(0; -3; 0)$, $C(0; 0; 4)$, $D(1; 2; 3)$.

Для того чтобы отметить точки в прямоугольной системе координат в пространстве, необходимо построить три взаимно перпендикулярные оси: ось абсцисс $Ox$, ось ординат $Oy$ и ось аппликат $Oz$. Каждая точка в пространстве задается тройкой чисел $(x; y; z)$, которые соответствуют ее координатам по этим осям.

Точка A(2; 0; 0). Так как ее координаты $y$ и $z$ равны нулю, эта точка лежит на оси $Ox$. Для ее построения нужно отложить от начала координат 2 единичных отрезка в положительном направлении оси $Ox$.

Точка B(0; -3; 0). Так как ее координаты $x$ и $z$ равны нулю, эта точка лежит на оси $Oy$. Для ее построения нужно отложить от начала координат 3 единичных отрезка в отрицательном направлении оси $Oy$.

Точка C(0; 0; 4). Так как ее координаты $x$ и $y$ равны нулю, эта точка лежит на оси $Oz$. Для ее построения нужно отложить от начала координат 4 единичных отрезка в положительном направлении оси $Oz$.

Точка D(1; 2; 3). Все три координаты этой точки отличны от нуля, поэтому она расположена в пространстве, а не на осях или координатных плоскостях. Для ее построения можно выполнить следующие шаги:
1. Найти на плоскости $Oxy$ точку с координатами $(1; 2; 0)$. Для этого от начала координат откладываем 1 единицу по оси $Ox$, а затем 2 единицы параллельно оси $Oy$.
2. Из полученной точки на плоскости $Oxy$ поднимаемся вверх параллельно оси $Oz$ на 3 единицы.
Полученная точка и будет искомой точкой $D(1; 2; 3)$. На рисунке этот процесс показан с помощью вспомогательных пунктирных линий.

Наглядное изображение отмеченных точек в трехмерной прямоугольной системе координат представлено на рисунке ниже.

Ответ: Точки A, B, C и D отмечены в прямоугольной системе координат, как показано на рисунке.

3.32. Постройте треугольник $ABC$ по координатам вершин:

1) $A(0; 3; 0)$, $B(1; 3; 5)$, $C(3; 2; 5);

2) $A(3; 0; 0)$, $B(0; 4; 0)$, $C(0; 0; 5).

1) A(0; 3; 0), B(1; 3; 5), C(3; 2; 5);

Для построения треугольника $ABC$ в трехмерной декартовой системе координат $Oxyz$ необходимо последовательно построить его вершины $A, B$ и $C$, а затем соединить их отрезками.

1. Находим точку $A(0; 3; 0)$. Так как ее координаты $x=0$ и $z=0$, точка лежит на оси $Oy$. Откладываем по оси $Oy$ 3 единичных отрезка от начала координат.

2. Находим точку $B(1; 3; 5)$. Для этого от начала координат откладываем 1 единицу по оси $Ox$, затем из полученной точки проводим отрезок, параллельный оси $Oy$, длиной 3 единицы, и, наконец, из конца этого отрезка проводим отрезок, параллельный оси $Oz$, длиной 5 единиц. Конец последнего отрезка и будет являться точкой $B$.

3. Находим точку $C(3; 2; 5)$. Аналогично, от начала координат откладываем 3 единицы по оси $Ox$, затем 2 единицы параллельно оси $Oy$, и 5 единиц параллельно оси $Oz$. Получаем точку $C$. Заметим, что точки $B$ и $C$ имеют одинаковую аппликату $z=5$, значит отрезок $BC$ параллелен плоскости $Oxy$.

4. Соединяем точки $A, B$ и $C$ отрезками, чтобы получить искомый треугольник $ABC$.

Графическое построение треугольника представлено на рисунке ниже.

Ответ: Построение треугольника ABC показано на рисунке.

2) A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5);

Построение этого треугольника выполняется аналогично предыдущему, с той разницей, что все вершины лежат непосредственно на осях координат.

1. Строим точку $A(3; 0; 0)$. Так как ее координаты $y=0$ и $z=0$, точка лежит на оси $Ox$. Откладываем по оси $Ox$ 3 единичных отрезка от начала координат.

2. Строим точку $B(0; 4; 0)$. Так как ее координаты $x=0$ и $z=0$, точка лежит на оси $Oy$. Откладываем по оси $Oy$ 4 единичных отрезка от начала координат.

3. Строим точку $C(0; 0; 5)$. Так как ее координаты $x=0$ и $y=0$, точка лежит на оси $Oz$. Откладываем по оси $Oz$ 5 единичных отрезков от начала координат.

4. Соединяем точки $A, B$ и $C$ отрезками. Полученный треугольник $ABC$ своими сторонами соединяет точки на трех координатных осях. Сторона $AB$ лежит в плоскости $Oxy$, $BC$ - в плоскости $Oyz$, а $AC$ - в плоскости $Oxz$.

Графическое построение треугольника представлено на рисунке ниже.

Ответ: Построение треугольника ABC показано на рисунке.

3.33. Выразите векторы $\vec{a} = (2; -3; 4)$, $\vec{b} = (-1; 1; 1)$, $\vec{c} = (0; 2; -3)$, $\vec{d} = (3; 0; 0)$, $\vec{p} = (0; -2; 0)$ и $\vec{q} = (0; 0; 2)$ через векторы $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

Для того чтобы выразить вектор, заданный своими координатами, через ортогональные единичные векторы (орты) $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$, используется его разложение по базису. Орты в декартовой системе координат имеют следующие координаты: $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$, $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Любой вектор $\vec{v} = (x; y; z)$ можно представить в виде суммы: $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Коэффициентами в этой сумме являются соответствующие координаты вектора.

$\vec{a} = (2; -3; 4)$
Координаты вектора $\vec{a}$ равны $x=2$, $y=-3$, $z=4$. Подставляя их в общую формулу разложения, получаем: $\vec{a} = 2\vec{i} + (-3)\vec{j} + 4\vec{k}$.
Ответ: $\vec{a} = 2\vec{i} - 3\vec{j} + 4\vec{k}$

$\vec{b} = (-1; 1; 1)$
Координаты вектора $\vec{b}$ равны $x=-1$, $y=1$, $z=1$. Разложение по базису: $\vec{b} = (-1)\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k}$. Коэффициенты, равные 1 или -1, обычно не пишут, оставляя только знак (для коэффициента 1) или только знак минуса (для -1).
Ответ: $\vec{b} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

$\vec{c} = (0; 2; -3)$
Координаты вектора $\vec{c}$ равны $x=0$, $y=2$, $z=-3$. Разложение по базису: $\vec{c} = 0\vec{i} + 2\vec{j} + (-3)\vec{k}$. Слагаемые с нулевыми коэффициентами принято опускать.
Ответ: $\vec{c} = 2\vec{j} - 3\vec{k}$

$\vec{d} = (3; 0; 0)$
Координаты вектора $\vec{d}$ равны $x=3$, $y=0$, $z=0$. Разложение по базису: $\vec{d} = 3\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}$. Опуская слагаемые с нулевыми коэффициентами, получаем:
Ответ: $\vec{d} = 3\vec{i}$

$\vec{p} = (0; -2; 0)$
Координаты вектора $\vec{p}$ равны $x=0$, $y=-2$, $z=0$. Разложение по базису: $\vec{p} = 0\vec{i} + (-2)\vec{j} + 0\vec{k}$.
Ответ: $\vec{p} = -2\vec{j}$

$\vec{q} = (0; 0; 2)$
Координаты вектора $\vec{q}$ равны $x=0$, $y=0$, $z=2$. Разложение по базису: $\vec{q} = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k}$.
Ответ: $\vec{q} = 2\vec{k}$

3.34. Найдите координаты вектора:

1)

$ \\vec{a} = 3\\vec{i} - 5\\vec{j} + \\vec{k}; $

2)

$ \\vec{b} = 0.5\\vec{i} + 3\\vec{j} - \\vec{k}; $

3)

$ \\vec{c} = -3\\vec{i} + 3\\vec{k}; $

4)

$ \\vec{d} = \\vec{j}. $

Координаты вектора в трёхмерной прямоугольной системе координат представляют собой коэффициенты в разложении этого вектора по базисным векторам (ортам) $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$. В общем виде, если вектор $\vec{v}$ представлен как линейная комбинация $\vec{v} = v_x\vec{i} + v_y\vec{j} + v_z\vec{k}$, то его координаты записываются в виде упорядоченной тройки чисел: $\vec{v}\{v_x; v_y; v_z\}$.

1) Дан вектор $\vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{j} + \vec{k}$. Здесь коэффициент при $\vec{i}$ равен $3$, коэффициент при $\vec{j}$ равен $-5$, а коэффициент при $\vec{k}$ равен $1$ (так как $\vec{k} = 1 \cdot \vec{k}$). Таким образом, координаты вектора $\vec{a}$ по осям Ox, Oy и Oz равны $3, -5, 1$.
Ответ: $\vec{a}\{3; -5; 1\}$.

2) Дан вектор $\vec{b} = 0,5\vec{i} + 3\vec{j} - \vec{k}$. Коэффициент при $\vec{i}$ равен $0,5$. Коэффициент при $\vec{j}$ равен $3$. Коэффициент при $\vec{k}$ равен $-1$ (так как $-\vec{k} = -1 \cdot \vec{k}$). Следовательно, координаты вектора $\vec{b}$ равны $0,5, 3, -1$.
Ответ: $\vec{b}\{0,5; 3; -1\}$.

3) Дан вектор $\vec{c} = -3\vec{i} + 3\vec{k}$. В этом разложении отсутствует слагаемое с вектором $\vec{j}$. Это означает, что проекция вектора на ось Oy равна нулю, и соответствующий коэффициент равен $0$. Полное разложение вектора можно записать как $\vec{c} = -3\vec{i} + 0\vec{j} + 3\vec{k}$. Координаты вектора $\vec{c}$ равны $-3, 0, 3$.
Ответ: $\vec{c}\{-3; 0; 3\}$.

4) Дан вектор $\vec{d} = \vec{j}$. В этом выражении отсутствуют слагаемые с векторами $\vec{i}$ и $\vec{k}$. Это означает, что их коэффициенты равны нулю. Коэффициент при $\vec{j}$ равен $1$. Полное разложение вектора имеет вид $\vec{d} = 0\vec{i} + 1\vec{j} + 0\vec{k}$. Координаты вектора $\vec{d}$ равны $0, 1, 0$.
Ответ: $\vec{d}\{0; 1; 0\}$.