Страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Пусть $\vec{a} = k\vec{b}$ ($\vec{a} \neq 0$). При каких значениях $k$ верно:

1) $|\vec{a}| = |\vec{b}|$;

2) $|\vec{a}| > |\vec{b}|$;

3) $|\vec{a}| < |\vec{b}|$?

В задаче дано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ связаны соотношением $\vec{a} = k\vec{b}$. Также указано, что $\vec{a} \neq \vec{0}$, из чего следует, что и $k \neq 0$, и $\vec{b} \neq \vec{0}$. Если бы $k=0$ или $\vec{b}=\vec{0}$, то вектор $\vec{a}$ был бы нулевым, что противоречит условию.

Для решения задачи воспользуемся свойством модуля (длины) вектора при умножении на скаляр (число):
$|\vec{a}| = |k\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{b}|$

Теперь рассмотрим каждый из трех случаев, подставляя в них полученное выражение для $|\vec{a}|$.

1) $|\vec{a}| = |\vec{b}|$
Подставим выражение для $|\vec{a}|$:
$|k| \cdot |\vec{b}| = |\vec{b}|$
Поскольку вектор $\vec{b}$ не является нулевым, его модуль $|\vec{b}| > 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $|\vec{b}|$:
$|k| = 1$
Это уравнение верно при $k = 1$ и $k = -1$.
Ответ: $k = 1$ или $k = -1$.

2) $|\vec{a}| > |\vec{b}|$
Подставим выражение для $|\vec{a}|$:
$|k| \cdot |\vec{b}| > |\vec{b}|$
Разделим обе части неравенства на положительное число $|\vec{b}|$, при этом знак неравенства не изменится:
$|k| > 1$
Это неравенство выполняется, когда $k$ больше $1$ или меньше $-1$.
Ответ: $k \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

3) $|\vec{a}| < |\vec{b}|$
Подставим выражение для $|\vec{a}|$:
$|k| \cdot |\vec{b}| < |\vec{b}|$
Разделим обе части неравенства на $|\vec{b}| > 0$:
$|k| < 1$
Это неравенство выполняется для всех $k$ в интервале $(-1, 1)$. Однако, как мы установили из условия задачи, $k \neq 0$. Поэтому необходимо исключить точку $k=0$ из этого интервала.
Ответ: $k \in (-1; 0) \cup (0; 1)$.

3.18. Пусть $\vec{b}=k \cdot \vec{a}$ и $|\vec{a}|=2$. Найдите $k$, если:

1) $|\vec{b}|=5$ и $\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}$;

2) $|\vec{b}|=1$ и $\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b}$.

1) По определению модуля вектора, полученного в результате умножения вектора на скаляр, имеем равенство: $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. В условии даны значения модулей векторов: $|\vec{b}| = 5$ и $|\vec{a}| = 2$. Подставим эти значения в формулу:

$5 = |k| \cdot 2$

Из этого уравнения находим модуль скаляра $k$:

$|k| = \frac{5}{2} = 2.5$

Также в условии указано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, что обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$. Это означает, что коэффициент $k$ должен быть положительным, то есть $k > 0$.

Учитывая, что $|k| = 2.5$ и $k > 0$, получаем, что $k = 2.5$.
Ответ: $k = 2.5$

2) Аналогично первому случаю, используем формулу для модуля вектора: $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. По условию этого пункта, $|\vec{b}| = 1$, а $|\vec{a}| = 2$. Подставляем эти значения:

$1 = |k| \cdot 2$

Находим модуль скаляра $k$:

$|k| = \frac{1}{2} = 0.5$

В условии сказано, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, что обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$. Это означает, что коэффициент $k$ должен быть отрицательным, то есть $k < 0$.

Учитывая, что $|k| = 0.5$ и $k < 0$, получаем, что $k = -0.5$.
Ответ: $k = -0.5$

3.19. Дана правильная четырехугольная пирамида ABCDE (рис. 3.15). Покажите, что $\vec{OE} + \vec{DE} + \vec{BC} + \vec{EB} + \vec{AO} = \vec{AE} + \vec{AD} + \vec{AB} + \vec{DA}$.

Рис. 3.15

Для того чтобы доказать данное векторное равенство, мы преобразуем его левую и правую части по отдельности и покажем, что они равны.

1. Преобразование правой части равенства.

Правая часть равенства имеет вид: $ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} $.

В этой сумме присутствуют два противоположных вектора $ \overrightarrow{AD} $ и $ \overrightarrow{DA} $. Их сумма равна нулевому вектору:

$ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0} $.

Таким образом, правая часть упрощается до:

$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} + \vec{0} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} $.

2. Преобразование левой части равенства.

Левая часть равенства имеет вид: $ \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{AO} $.

Сгруппируем векторы, используя коммутативность сложения, чтобы применить правило треугольника (правило Шаля):

$ (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OE}) + (\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EB}) + \overrightarrow{BC} $.

По правилу треугольника сложения векторов:

$ \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{AE} $

$ \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{DB} $

Подставим эти результаты в выражение для левой части:

$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} $.

Снова перегруппируем слагаемые и применим правило треугольника:

$ \overrightarrow{AE} + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC}) $.

Сумма векторов $ \overrightarrow{DB} $ и $ \overrightarrow{BC} $ по правилу треугольника равна вектору $ \overrightarrow{DC} $ (вектор из начала первого в конец второго).

Таким образом, левая часть равна:

$ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DC} $.

3. Сравнение левой и правой частей.

Мы получили:

Левая часть: $ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DC} $

Правая часть: $ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} $

Для того чтобы равенство было верным, должно выполняться условие $ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} $.

По условию задачи, пирамида $ ABCDE $ — правильная четырехугольная. Это означает, что в ее основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат $ ABCD $. В квадрате (как и в любом параллелограмме) противолежащие стороны равны и параллельны. Следовательно, векторы, направленные вдоль этих сторон в одном направлении, равны.

Векторы $ \overrightarrow{AB} $ и $ \overrightarrow{DC} $ коллинеарны (параллельны), сонаправлены и имеют одинаковую длину, равную стороне квадрата. Значит, $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $.

Подставляя $ \overrightarrow{AB} $ вместо $ \overrightarrow{DC} $ в выражение для левой части, получаем:

Левая часть = $ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} $.

Это выражение совпадает с преобразованной правой частью.

Ответ:

Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же выражению $ \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AB} $, исходное равенство $ \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} $ является верным, что и требовалось доказать.

3.20. В треугольной пирамиде $ABCD$ точка $E$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AE:EB=3:1$. Выразите векторы $\vec{BD}, \vec{BC}, \vec{CD}, \vec{ED}$ и $\vec{EC}$ через векторы $\vec{a}=\vec{AE}, \vec{b}=\vec{AC}, \vec{c}=\vec{AD}$.

Для решения задачи нам даны векторы $\vec{a} = \vec{AE}$, $\vec{b} = \vec{AC}$ и $\vec{c} = \vec{AD}$. Точка $A$ является общим началом для всех трех базисных векторов, поэтому удобно выражать все искомые векторы через векторы, исходящие из точки $A$.

По условию, точка $E$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AE:EB = 3:1$. Это означает, что векторы $\vec{AE}$ и $\vec{EB}$ сонаправлены, а длина вектора $\vec{AE}$ в три раза больше длины вектора $\vec{EB}$. Следовательно, мы можем записать векторное равенство: $\vec{AE} = 3\vec{EB}$.

Отсюда можно выразить вектор $\vec{EB}$ через $\vec{a}$:

$\vec{EB} = \frac{1}{3}\vec{AE} = \frac{1}{3}\vec{a}$

Теперь найдем вектор $\vec{AB}$, который понадобится для дальнейших вычислений. Вектор $\vec{AB}$ является суммой векторов $\vec{AE}$ и $\vec{EB}$:

$\vec{AB} = \vec{AE} + \vec{EB} = \vec{a} + \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{4}{3}\vec{a}$

Теперь, имея выражения для векторов $\vec{AE}$, $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ через базисные векторы, мы можем найти все требуемые векторы.

$\vec{BD}$

Чтобы выразить вектор $\vec{BD}$, используем правило разности векторов (правило треугольника), представив его как разность векторов с общим началом в точке A: $\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$.

Подставим известные выражения: $\vec{AD} = \vec{c}$ и $\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{a}$.

$\vec{BD} = \vec{c} - \frac{4}{3}\vec{a}$

Ответ: $\vec{BD} = \vec{c} - \frac{4}{3}\vec{a}$

$\vec{BC}$

Аналогично, для вектора $\vec{BC}$ применяем правило разности векторов с общим началом в точке A: $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$.

Подставим известные выражения: $\vec{AC} = \vec{b}$ и $\vec{AB} = \frac{4}{3}\vec{a}$.

$\vec{BC} = \vec{b} - \frac{4}{3}\vec{a}$

Ответ: $\vec{BC} = \vec{b} - \frac{4}{3}\vec{a}$

$\vec{CD}$

Для вектора $\vec{CD}$ также используем правило разности с началом в точке A: $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC}$.

Подставим известные выражения: $\vec{AD} = \vec{c}$ и $\vec{AC} = \vec{b}$.

$\vec{CD} = \vec{c} - \vec{b}$

Ответ: $\vec{CD} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{ED}$

Для вектора $\vec{ED}$ используем правило разности векторов с общим началом в точке A: $\vec{ED} = \vec{AD} - \vec{AE}$.

Подставим известные выражения: $\vec{AD} = \vec{c}$ и $\vec{AE} = \vec{a}$.

$\vec{ED} = \vec{c} - \vec{a}$

Ответ: $\vec{ED} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{EC}$

Для вектора $\vec{EC}$ применяем то же правило: $\vec{EC} = \vec{AC} - \vec{AE}$.

Подставим известные выражения: $\vec{AC} = \vec{b}$ и $\vec{AE} = \vec{a}$.

$\vec{EC} = \vec{b} - \vec{a}$

Ответ: $\vec{EC} = \vec{b} - \vec{a}$

3.21. Пусть $\vec{x}$, $\vec{y}$, и $\vec{z}$ -- некомпланарные векторы. Выясните, коллинеарны ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) $\vec{a}=\vec{x}-2\sqrt{3}\vec{y}$, $\vec{b}=\sqrt{3}\vec{x}-6\vec{y}$;

2) $\vec{a}=2\vec{x}+\vec{y}$, $\vec{b}=\vec{x}+6\vec{y}$;

3) $\vec{a}=\vec{x}-2\sqrt{2}\vec{y}+\sqrt{6}\vec{z}$, $\vec{b}=\sqrt{2}\vec{x}-4\vec{y}+2\sqrt{3}\vec{z}$;

4) $\vec{a}=\sqrt{5}\cdot\vec{y}$, $\vec{b}=\sqrt{5}\vec{z}$.

1) Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. В данном случае имеем $\vec{a} = \vec{x} - 2\sqrt{3}\vec{y}$ и $\vec{b} = \sqrt{3}\vec{x} - 6\vec{y}$. Проверим, существует ли такое $k$, что $\vec{x} - 2\sqrt{3}\vec{y} = k(\sqrt{3}\vec{x} - 6\vec{y})$. Раскроем скобки: $\vec{x} - 2\sqrt{3}\vec{y} = k\sqrt{3}\vec{x} - 6k\vec{y}$. Поскольку векторы $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ некомпланарны, то векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ линейно независимы. Это означает, что равенство возможно только тогда, когда коэффициенты при соответствующих векторах равны. Составим систему уравнений: $ \begin{cases} 1 = k\sqrt{3} \\ -2\sqrt{3} = -6k \end{cases} $ Из первого уравнения находим $k = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставим это значение во второе уравнение, чтобы проверить его истинность: $-6 \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{6}{\sqrt{3}} = -\frac{6\sqrt{3}}{3} = -2\sqrt{3}$. Так как $-2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$, второе уравнение выполняется. Поскольку мы нашли такое число $k$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Ответ: коллинеарны.

2) Даны векторы $\vec{a} = 2\vec{x} + \vec{y}$ и $\vec{b} = \vec{x} + 6\vec{y}$. Проверим условие коллинеарности $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$: $2\vec{x} + \vec{y} = k(\vec{x} + 6\vec{y})$ $2\vec{x} + \vec{y} = k\vec{x} + 6k\vec{y}$ Так как векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ линейно независимы, приравняем коэффициенты при них: $ \begin{cases} 2 = k \\ 1 = 6k \end{cases} $ Из первого уравнения получаем $k = 2$. Из второго уравнения получаем $k = \frac{1}{6}$. Поскольку $2 \neq \frac{1}{6}$, не существует единого значения $k$, удовлетворяющего обоим уравнениям. Следовательно, векторы не коллинеарны.
Ответ: не коллинеарны.

3) Даны векторы $\vec{a} = \vec{x} - 2\sqrt{2}\vec{y} + \sqrt{6}\vec{z}$ и $\vec{b} = \sqrt{2}\vec{x} - 4\vec{y} + 2\sqrt{3}\vec{z}$. Проверим условие коллинеарности $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$: $\vec{x} - 2\sqrt{2}\vec{y} + \sqrt{6}\vec{z} = k(\sqrt{2}\vec{x} - 4\vec{y} + 2\sqrt{3}\vec{z})$ $\vec{x} - 2\sqrt{2}\vec{y} + \sqrt{6}\vec{z} = k\sqrt{2}\vec{x} - 4k\vec{y} + 2k\sqrt{3}\vec{z}$ Поскольку векторы $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ некомпланарны, они линейно независимы. Приравниваем коэффициенты при соответствующих векторах: $ \begin{cases} 1 = k\sqrt{2} \\ -2\sqrt{2} = -4k \\ \sqrt{6} = 2k\sqrt{3} \end{cases} $ Из первого уравнения: $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Из второго уравнения: $k = \frac{-2\sqrt{2}}{-4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Из третьего уравнения: $k = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Все три уравнения дают одно и то же значение $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Следовательно, такое число $k$ существует. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.
Ответ: коллинеарны.

4) Даны векторы $\vec{a} = \sqrt{5}\vec{y}$ и $\vec{b} = \sqrt{5}\vec{z}$. Проверим условие коллинеарности $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$: $\sqrt{5}\vec{y} = k(\sqrt{5}\vec{z})$ Для наглядности распишем разложение по всем трем базисным векторам: $0\vec{x} + \sqrt{5}\vec{y} + 0\vec{z} = 0\vec{x} + 0\vec{y} + k\sqrt{5}\vec{z}$ Приравниваем коэффициенты при линейно независимых векторах $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$: $ \begin{cases} 0 = 0 \\ \sqrt{5} = 0 \\ 0 = k\sqrt{5} \end{cases} $ Второе уравнение системы, $\sqrt{5} = 0$, является ложным. Это означает, что система не имеет решений, и не существует такого числа $k$, при котором выполнялось бы равенство $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Следовательно, векторы не коллинеарны.
Ответ: не коллинеарны.

3.22. Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельным переносом на $\vec{AC_1}$ отображается в другой куб. Найдите наибольшее расстояние между точками кубов, если $AB = a$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ находится в начале координат, а ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Длина ребра куба равна $a$.

Координаты вершин исходного куба $K$:

$A(0, 0, 0)$
$B(a, 0, 0)$
$D(0, a, 0)$
$A_1(0, 0, a)$
$C(a, a, 0)$
$B_1(a, 0, a)$
$D_1(0, a, a)$
$C_1(a, a, a)$

Куб отображается в другой куб $K'$ параллельным переносом на вектор $\vec{v} = \vec{AC_1}$. Найдем координаты этого вектора:$\vec{v} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$.

Нам нужно найти наибольшее расстояние между точками двух кубов. Пусть $P(x_P, y_P, z_P)$ — произвольная точка исходного куба $K$, а $Q(x_Q, y_Q, z_Q)$ — произвольная точка второго куба $K'$.

Координаты точки $P$ удовлетворяют неравенствам:$0 \le x_P \le a$
$0 \le y_P \le a$
$0 \le z_P \le a$

Любая точка $Q$ из куба $K'$ является образом некоторой точки $R(x_R, y_R, z_R)$ из куба $K$ при переносе на вектор $\vec{v}$. Следовательно, координаты точки $Q$ можно выразить как:$Q = R + \vec{v} = (x_R + a, y_R + a, z_R + a)$

Координаты точки $R$ также удовлетворяют неравенствам:$0 \le x_R \le a$
$0 \le y_R \le a$
$0 \le z_R \le a$

Квадрат расстояния $d^2$ между точками $P$ и $Q$ вычисляется по формуле:$d^2 = (x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2$

Подставим выражения для координат точки $Q$:$d^2 = (x_R + a - x_P)^2 + (y_R + a - y_P)^2 + (z_R + a - z_P)^2$

Чтобы найти максимальное расстояние $d$, нужно максимизировать выражение для $d^2$. Для этого нужно максимизировать каждое слагаемое в сумме. Рассмотрим первое слагаемое $(x_R - x_P + a)^2$.

Поскольку $x_P \in [0, a]$ и $x_R \in [0, a]$, то разность $x_R - x_P$ находится в интервале $[-a, a]$.Тогда выражение $x_R - x_P + a$ находится в интервале $[-a+a, a+a] = [0, 2a]$.Квадрат этого выражения $(x_R - x_P + a)^2$ достигает своего наибольшего значения, когда основание степени максимально, то есть равно $2a$. Это достигается при $x_R = a$ и $x_P = 0$.

Аналогично, для максимизации двух других слагаемых необходимо, чтобы:$y_R = a$ и $y_P = 0$$z_R = a$ и $z_P = 0$

Таким образом, максимальное расстояние будет между точкой $P$ с координатами $(0, 0, 0)$ и точкой $Q$, которая является образом точки $R$ с координатами $(a, a, a)$.

Точка $P(0, 0, 0)$ — это вершина $A$ исходного куба.Точка $R(a, a, a)$ — это вершина $C_1$ исходного куба.Точка $Q$ является образом точки $C_1$, то есть это вершина $C'_1$ второго куба. Ее координаты:$Q = C_1 + \vec{AC_1} = (a, a, a) + (a, a, a) = (2a, 2a, 2a)$.

Теперь найдем расстояние между точками $A(0, 0, 0)$ и $Q(2a, 2a, 2a)$:$d_{max} = \sqrt{(2a - 0)^2 + (2a - 0)^2 + (2a - 0)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2 + 4a^2} = \sqrt{12a^2} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^2} = 2a\sqrt{3}$.

Это и есть наибольшее расстояние между точками двух кубов.

Ответ: $2a\sqrt{3}$

3.23. В треугольнике ABC точка O – точка пересечения медиан, отрезок CE – медиана. Докажите, что $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CE}$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Рассмотрим треугольник $ABC$, медиану $CE$ и точку пересечения медиан $O$.

1. Поскольку $CE$ – медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AB$, точка $E$ является серединой отрезка $AB$.

2. По правилу нахождения вектора, проведенного в середину отрезка, для точки $O$ можно записать:$\vec{OE} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$.Из этого равенства следует, что $\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OE}$.

3. Точка $O$ – точка пересечения медиан треугольника. Известно свойство, что точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $CE$ это означает, что $CO : OE = 2:1$.

4. Из соотношения $CO : OE = 2:1$ следует, что векторы $\vec{CO}$ и $\vec{OE}$ сонаправлены, и $|\vec{CO}| = 2|\vec{OE}|$. Следовательно, $\vec{CO} = 2\vec{OE}$.

5. Вектор $\vec{CE}$ можно выразить как сумму векторов по правилу сложения векторов (правило треугольника):$\vec{CE} = \vec{CO} + \vec{OE}$.

6. Подставим в это выражение $\vec{CO} = 2\vec{OE}$:$\vec{CE} = 2\vec{OE} + \vec{OE} = 3\vec{OE}$.

7. Из последнего равенства выразим вектор $\vec{OE}$:$\vec{OE} = \frac{1}{3}\vec{CE}$.

8. Теперь подставим это выражение для $\vec{OE}$ в равенство из пункта 2:$\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OE} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\vec{CE}\right) = \frac{2}{3}\vec{CE}$.

Таким образом, равенство $\vec{OA} + \vec{OB} = \frac{2}{3}\vec{CE}$ доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.24. Дан параллелограмм $ABCD$ и $O$ – произвольная точка пространства. Докажите, что $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$.

Для доказательства данного векторного равенства можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Использование свойства диагоналей параллелограмма

Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$. Согласно свойству параллелограмма, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $M$ является серединой как отрезка $AC$, так и отрезка $BD$.

Пусть $O$ — произвольная точка пространства. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Применим это правило к диагоналям $AC$ и $BD$.

Поскольку $M$ — середина диагонали $AC$, ее радиус-вектор $\vec{OM}$ можно выразить следующим образом:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC})$

Аналогично, поскольку $M$ — середина диагонали $BD$, ее радиус-вектор $\vec{OM}$ можно выразить и так:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$

Так как левые части этих равенств равны (это один и тот же вектор $\vec{OM}$), мы можем приравнять их правые части:

$\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OC}) = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OD})$

Умножив обе части равенства на 2, получаем требуемое равенство:

$\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$

Что и требовалось доказать.

Способ 2: Использование векторного равенства сторон параллелограмма

По определению параллелограмма $ABCD$, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. В векторной форме это означает, что векторы, представляющие противоположные стороны, равны. Например, $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Выразим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ через радиус-векторы их начал и концов относительно произвольной точки $O$, используя правило вычитания векторов ($\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$):

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD}$

Подставим эти выражения в равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$:

$\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{OC} - \vec{OD}$

Теперь перегруппируем слагаемые, чтобы получить равенство из условия задачи. Перенесем вектор $\vec{OA}$ в правую часть, а вектор $\vec{OD}$ в левую часть:

$\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OC}$

Данное равенство идентично тому, что требовалось доказать.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$ доказано.