Номер 3.37, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.37. По данным задачи 3.33 найдите модули указанных векторов.

Для решения задачи воспользуемся данными из задачи 3.33, где задан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Модуль вектора — это его длина. Мы найдем длины указанных векторов, используя их координаты в трехмерном пространстве.

Введем правую декартову систему координат. Поместим вершину A в начало координат. Направим ось Ox вдоль ребра $AD$, ось Oy — вдоль ребра $AB$, и ось Oz — вдоль ребра $AA_1$. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты вершин куба будут следующими:

$A(0, 0, 0)$

$B(0, 1, 0)$

$C(1, 1, 0)$

$D(1, 0, 0)$

$A_1(0, 0, 1)$

$B_1(0, 1, 1)$

$C_1(1, 1, 1)$

$D_1(1, 0, 1)$

Модуль вектора $\vec{v} = (x, y, z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

В задаче 3.33 были указаны следующие векторы: а) $\vec{AC}$, б) $\vec{AD_1}$, в) $\vec{BD_1}$, г) $\vec{A_1C}$. Найдем их модули.

а) Найдем координаты вектора $\vec{AC}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{AC} = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)$.

Теперь вычислим модуль (длину) вектора $\vec{AC}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

б) Найдем координаты вектора $\vec{AD_1}$:

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1)$.

Вычислим модуль вектора $\vec{AD_1}$:

$|\vec{AD_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

в) Найдем координаты вектора $\vec{BD_1}$:

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (1, 0, 1) - (0, 1, 0) = (1, -1, 1)$.

Вычислим модуль вектора $\vec{BD_1}$:

$|\vec{BD_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

г) Найдем координаты вектора $\vec{A_1C}$:

$\vec{A_1C} = C - A_1 = (1, 1, 0) - (0, 0, 1) = (1, 1, -1)$.

Вычислим модуль вектора $\vec{A_1C}$:

$|\vec{A_1C}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.