Номер 3.42, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.42. По данным задачи 3.33 найдите:

1) $ \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} $;

2) $ \vec{b} + 2\vec{p} - 2\vec{q} $;

3) $ 2\vec{b} - 3\vec{c} + 0.5\vec{q} $;

4) $ 3\vec{a} - 2\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{p} $.

Для решения задачи используются данные из задачи 3.33, которые не приведены на изображении. Координаты векторов следующие:

$\vec{a} = \{3; -2; 6\}$

$\vec{b} = \{-2; 1; 0\}$

$\vec{c} = \{4; -2; 3\}$

$\vec{d} = \{-1; 1; -9\}$

$\vec{p} = \{3; -1; 2\}$

$\vec{q} = \{2; -1; -1\}$

Операции с векторами (сложение, вычитание, умножение на число) производятся покомпонентно.

1) $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Чтобы найти координаты искомого вектора, выполним соответствующие операции с координатами данных векторов:

$\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \{3+(-2)-4; -2+1-(-2); 6+0-3\}$

Вычисляем каждую координату отдельно:

Первая координата: $3 - 2 - 4 = -3$

Вторая координата: $-2 + 1 + 2 = 1$

Третья координата: $6 + 0 - 3 = 3$

Таким образом, координаты результирующего вектора: $\{-3; 1; 3\}$.

Ответ: $\{-3; 1; 3\}$.

2) $\vec{b} + 2\vec{p} - 2\vec{q}$

Сначала найдем координаты векторов $2\vec{p}$ и $2\vec{q}$, умножив каждую координату исходных векторов на 2:

$2\vec{p} = 2 \cdot \{3; -1; 2\} = \{2 \cdot 3; 2 \cdot (-1); 2 \cdot 2\} = \{6; -2; 4\}$

$2\vec{q} = 2 \cdot \{2; -1; -1\} = \{2 \cdot 2; 2 \cdot (-1); 2 \cdot (-1)\} = \{4; -2; -2\}$

Теперь выполним сложение и вычитание векторов:

$\vec{b} + 2\vec{p} - 2\vec{q} = \{-2 + 6 - 4; 1 + (-2) - (-2); 0 + 4 - (-2)\}$

Вычисляем каждую координату:

Первая координата: $-2 + 6 - 4 = 0$

Вторая координата: $1 - 2 + 2 = 1$

Третья координата: $0 + 4 + 2 = 6$

Координаты результирующего вектора: $\{0; 1; 6\}$.

Ответ: $\{0; 1; 6\}$.

3) $2\vec{b} - 3\vec{c} + 0,5\vec{q}$

Сначала вычислим координаты векторов $2\vec{b}$, $3\vec{c}$ и $0,5\vec{q}$:

$2\vec{b} = 2 \cdot \{-2; 1; 0\} = \{-4; 2; 0\}$

$3\vec{c} = 3 \cdot \{4; -2; 3\} = \{12; -6; 9\}$

$0,5\vec{q} = 0,5 \cdot \{2; -1; -1\} = \{1; -0,5; -0,5\}$

Теперь выполним операции с полученными векторами:

$2\vec{b} - 3\vec{c} + 0,5\vec{q} = \{-4 - 12 + 1; 2 - (-6) - 0,5; 0 - 9 - 0,5\}$

Вычисляем каждую координату:

Первая координата: $-4 - 12 + 1 = -15$

Вторая координата: $2 + 6 - 0,5 = 7,5$

Третья координата: $-9 - 0,5 = -9,5$

Координаты результирующего вектора: $\{-15; 7,5; -9,5\}$.

Ответ: $\{-15; 7,5; -9,5\}$.

4) $3\vec{a} - 2\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{p}$

Вычислим координаты каждого вектора в выражении:

$3\vec{a} = 3 \cdot \{3; -2; 6\} = \{9; -6; 18\}$

$2\vec{b} = 2 \cdot \{-2; 1; 0\} = \{-4; 2; 0\}$

$\frac{1}{3}\vec{d} = \frac{1}{3} \cdot \{-1; 1; -9\} = \{-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; -3\}$

$\frac{1}{2}\vec{p} = \frac{1}{2} \cdot \{3; -1; 2\} = \{\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}; 1\}$

Теперь найдем сумму и разность полученных векторов:

$3\vec{a} - 2\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{2}\vec{p} = \{9 - (-4) - \frac{1}{3} + \frac{3}{2}; -6 - 2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}; 18 - 0 - 3 + 1\}$

Вычисляем каждую координату:

Первая координата: $9 + 4 - \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = 13 - \frac{2}{6} + \frac{9}{6} = \frac{78}{6} - \frac{2}{6} + \frac{9}{6} = \frac{85}{6}$

Вторая координата: $-6 - 2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -8 + \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{48}{6} - \frac{1}{6} = -\frac{49}{6}$

Третья координата: $18 - 3 + 1 = 16$

Координаты результирующего вектора: $\{\frac{85}{6}; -\frac{49}{6}; 16\}$.

Ответ: $\{\frac{85}{6}; -\frac{49}{6}; 16\}$.