Номер 3.47, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.47. Известны координаты вершин $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$. Найдите координаты вершины $D$, если:

1) $A(2; -1; 1)$, $B(3; -1; 1)$, $C(0; 2; -3);$

2) $A(3; 1; -1)$, $B(2; -1; 1)$, $C(-2; 0; 3);$

3) $A(2; -1; 0)$, $B(-1; 3; 1)$, $C(0; 1; -1).$

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма ABCD, зная координаты трех других, можно использовать свойство диагоналей. В любом параллелограмме диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Следовательно, середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD.

Пусть координаты вершин заданы как $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B)$, $C(x_C, y_C, z_C)$, а координаты искомой вершины — $D(x_D, y_D, z_D)$.

Формула для нахождения координат середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ имеет вид $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$.

Приравнивая координаты середин диагоналей AC и BD, получаем:

$\frac{x_A+x_C}{2} = \frac{x_B+x_D}{2} \implies x_A+x_C = x_B+x_D$

$\frac{y_A+y_C}{2} = \frac{y_B+y_D}{2} \implies y_A+y_C = y_B+y_D$

$\frac{z_A+z_C}{2} = \frac{z_B+z_D}{2} \implies z_A+z_C = z_B+z_D$

Из этих равенств выразим координаты вершины D:

$x_D = x_A + x_C - x_B$

$y_D = y_A + y_C - y_B$

$z_D = z_A + z_C - z_B$

Теперь решим задачу для каждого из заданных случаев.

1) Даны координаты вершин: $A(2; -1; 1)$, $B(3; -1; 1)$, $C(0; 2; -3)$.

Находим координаты вершины D, используя полученные формулы:

$x_D = 2 + 0 - 3 = -1$

$y_D = -1 + 2 - (-1) = -1 + 2 + 1 = 2$

$z_D = 1 + (-3) - 1 = 1 - 3 - 1 = -3$

Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(-1; 2; -3)$.

Ответ: $D(-1; 2; -3)$.

2) Даны координаты вершин: $A(3; 1; -1)$, $B(2; -1; 1)$, $C(-2; 0; 3)$.

Находим координаты вершины D:

$x_D = 3 + (-2) - 2 = 3 - 2 - 2 = -1$

$y_D = 1 + 0 - (-1) = 1 + 1 = 2$

$z_D = -1 + 3 - 1 = 1$

Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(-1; 2; 1)$.

Ответ: $D(-1; 2; 1)$.

3) Даны координаты вершин: $A(2; -1; 0)$, $B(-1; 3; 1)$, $C(0; 1; -1)$.

Находим координаты вершины D:

$x_D = 2 + 0 - (-1) = 2 + 1 = 3$

$y_D = -1 + 1 - 3 = -3$

$z_D = 0 + (-1) - 1 = -2$

Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(3; -3; -2)$.

Ответ: $D(3; -3; -2)$.