Номер 3.46, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.46. Дана трапеция $ABCD$ и три его вершины $A(-2;-3;1)$, $B(1;4;3)$, $C(3;1;-2)$. Найдите координаты вершины $D$ при условии, что основание $AD$ в пять раз больше основания $BC$.

Поскольку $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, то стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Это означает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны.

Условие коллинеарности векторов можно записать в виде $\vec{AD} = k \cdot \vec{BC}$, где $k$ — некоторое скалярное число.

По условию задачи, длина основания $AD$ в пять раз больше длины основания $BC$. В векторной форме это записывается как $|\vec{AD}| = 5 |\vec{BC}|$.

Из векторного равенства $\vec{AD} = k \cdot \vec{BC}$ следует, что $|\vec{AD}| = |k| \cdot |\vec{BC}|$. Сопоставляя это с условием задачи, получаем $|k| \cdot |\vec{BC}| = 5 |\vec{BC}|$, откуда $|k|=5$. Это значит, что $k=5$ или $k=-5$.

Так как в трапеции $ABCD$ основаниями являются $AD$ и $BC$, предполагается, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление). В этом случае коэффициент $k$ положителен, то есть $k=5$. Таким образом, мы имеем векторное равенство: $\vec{AD} = 5 \cdot \vec{BC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек $B(1; 4; 3)$ и $C(3; 1; -2)$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (3 - 1; 1 - 4; -2 - 3) = (2; -3; -5)$.

Пусть искомая вершина $D$ имеет координаты $(x_D; y_D; z_D)$. Тогда координаты вектора $\vec{AD}$, зная координаты точки $A(-2; -3; 1)$, будут:

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A) = (x_D - (-2); y_D - (-3); z_D - 1) = (x_D + 2; y_D + 3; z_D - 1)$.

Теперь подставим найденные координаты векторов в равенство $\vec{AD} = 5 \cdot \vec{BC}$:

$(x_D + 2; y_D + 3; z_D - 1) = 5 \cdot (2; -3; -5)$

$(x_D + 2; y_D + 3; z_D - 1) = (10; -15; -25)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Приравнивая их, получаем систему уравнений:

$x_D + 2 = 10$
$y_D + 3 = -15$
$z_D - 1 = -25$

Решая эту систему, находим координаты точки $D$:

$x_D = 10 - 2 = 8$
$y_D = -15 - 3 = -18$
$z_D = -25 + 1 = -24$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(8; -18; -24)$.

Ответ: $D(8; -18; -24)$.