Номер 3.52, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.52. По данным задачи 3.51 найдите длины диагоналей ромба.

Для решения задачи воспользуемся данными из задачи 3.51. Предположим, что в задаче 3.51 дан ромб $ABCD$, у которого высота $BH$, проведенная из вершины тупого угла $B$ к стороне $AD$, делит эту сторону на отрезки $AH = m$ и $HD = n$, считая от вершины острого угла $A$. Требуется найти длины диагоналей ромба $d_1 = BD$ и $d_2 = AC$.

Нахождение стороны ромба

По определению ромба все его стороны равны. Обозначим длину стороны ромба как $a$. Так как точка $H$ лежит на стороне $AD$, то длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AH$ и $HD$.

$a = AD = AH + HD = m + n$.

Следовательно, все стороны ромба равны $a = m+n$.

Нахождение первой диагонали $d_1 = BD$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Его катеты - это высота $BH$ и отрезок $HD$. Гипотенуза - диагональ $BD$. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BH^2 + HD^2$

Нам известна длина $HD = n$. Необходимо найти длину высоты $BH$. Для этого рассмотрим другой прямоугольный треугольник - $ABH$. Его катеты - $AH$ и $BH$, а гипотенуза - сторона ромба $AB$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим известные значения: $AB = a = m+n$ и $AH = m$.

$(m+n)^2 = m^2 + BH^2$

Выразим $BH^2$:

$BH^2 = (m+n)^2 - m^2 = (m^2 + 2mn + n^2) - m^2 = 2mn + n^2$.

Теперь вернемся к треугольнику $BHD$ и найдем квадрат диагонали $BD$:

$d_1^2 = BD^2 = BH^2 + HD^2 = (2mn + n^2) + n^2 = 2mn + 2n^2 = 2n(m+n)$.

Таким образом, длина первой диагонали:

$d_1 = \sqrt{2n(m+n)}$.

Нахождение второй диагонали $d_2 = AC$

Для нахождения второй диагонали воспользуемся свойством параллелограмма (и ромба в частности), согласно которому сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон:

$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Мы уже нашли $d_1^2 = 2n(m+n)$ и знаем, что $a = m+n$. Подставим эти значения в формулу:

$2n(m+n) + d_2^2 = 4(m+n)^2$

Выразим отсюда $d_2^2$:

$d_2^2 = 4(m+n)^2 - 2n(m+n)$

Вынесем общий множитель $2(m+n)$ за скобки:

$d_2^2 = 2(m+n) \cdot [2(m+n) - n]$

Упростим выражение в скобках:

$d_2^2 = 2(m+n)(2m + 2n - n) = 2(m+n)(2m+n)$.

Следовательно, длина второй диагонали:

$d_2 = \sqrt{2(m+n)(2m+n)}$.

Ответ: Длины диагоналей ромба равны $d_1 = \sqrt{2n(m+n)}$ и $d_2 = \sqrt{2(m+n)(2m+n)}$.