Номер 3.45, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.2. Координаты точки и вектора в пространстве. Раздел 3. Прямоугольная система координат в пространстве и векторы - номер 3.45, страница 82.

Условие rus.

3.45. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ даны координаты четырех вершин: $A(2; -1; 1)$, $B(1; 3; 4)$, $A_1(4; 2; 0)$, $D(6; 0; 1)$. Найдите координаты остальных вершин.

Условия kz.

Решение.

Решение 2 (rus).

Для нахождения координат остальных вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся его свойствами. В параллелепипеде противоположные грани являются параллелограммами, а боковые ребра параллельны и равны. Это означает, что для векторов, определяющих вершины, выполняются следующие равенства:

• $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{AD} = \vec{BC}$ (свойство параллелограмма $ABCD$)
• $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$ (свойство параллельного переноса оснований)

Даны координаты вершин: $A(2; -1; 1)$, $B(1; 3; 4)$, $A_1(4; 2; 0)$, $D(6; 0; 1)$.

Требуется найти координаты вершин $C, B_1, C_1, D_1$.

Вершина C

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то выполняется правило сложения векторов (правило параллелограмма): $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. В координатной форме для радиус-векторов это означает $\vec{C} - \vec{A} = (\vec{B} - \vec{A}) + (\vec{D} - \vec{A})$, откуда получаем $\vec{C} = \vec{B} + \vec{D} - \vec{A}$.

Вычислим координаты точки $C(x_C; y_C; z_C)$:

$x_C = x_B + x_D - x_A = 1 + 6 - 2 = 5$

$y_C = y_B + y_D - y_A = 3 + 0 - (-1) = 4$

$z_C = z_B + z_D - z_A = 4 + 1 - 1 = 4$

Ответ: $C(5; 4; 4)$.

Теперь найдем вектор параллельного переноса $\vec{AA_1}$, который будет использоваться для нахождения вершин верхнего основания.

$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (4 - 2; 2 - (-1); 0 - 1) = (2; 3; -1)$.

Вершина B₁

Координаты вершины $B_1$ находим по правилу $\vec{B_1} = \vec{B} + \vec{AA_1}$ (поскольку $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$).

$x_{B_1} = x_B + 2 = 1 + 2 = 3$

$y_{B_1} = y_B + 3 = 3 + 3 = 6$

$z_{B_1} = z_B + (-1) = 4 - 1 = 3$

Ответ: $B_1(3; 6; 3)$.

Вершина D₁

Координаты вершины $D_1$ находим по правилу $\vec{D_1} = \vec{D} + \vec{AA_1}$ (поскольку $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$).

$x_{D_1} = x_D + 2 = 6 + 2 = 8$

$y_{D_1} = y_D + 3 = 0 + 3 = 3$

$z_{D_1} = z_D + (-1) = 1 - 1 = 0$

Ответ: $D_1(8; 3; 0)$.

Вершина C₁

Координаты вершины $C_1$ находим по правилу $\vec{C_1} = \vec{C} + \vec{AA_1}$ (поскольку $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$). Используем найденные ранее координаты точки $C(5; 4; 4)$.

$x_{C_1} = x_C + 2 = 5 + 2 = 7$

$y_{C_1} = y_C + 3 = 4 + 3 = 7$

$z_{C_1} = z_C + (-1) = 4 - 1 = 3$

Ответ: $C_1(7; 7; 3)$.