Номер 3.43, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.43. Покажите, что $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$, $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

Векторы $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$ являются базисными векторами (или ортами) в прямоугольной декартовой системе координат в трехмерном пространстве. По определению, это единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями осей координат Ox, Oy и Oz соответственно. Координаты любого вектора в данной системе определяются его проекциями на эти оси. Ниже приведено графическое представление этих векторов.

Рассмотрим вектор $\vec{i}$. По определению, это единичный вектор, сонаправленный с осью Ox. "Единичный" означает, что его длина (модуль) равна 1: $|\vec{i}| = 1$. "Сонаправленный с осью Ox" означает, что угол между вектором $\vec{i}$ и положительным направлением оси Ox равен $0^\circ$, а углы с осями Oy и Oz равны $90^\circ$. Координаты вектора — это его проекции на оси. Проекция вектора на ось равна произведению его длины на косинус угла между вектором и осью.
• Проекция на ось Ox: $|\vec{i}| \cdot \cos(0^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$.
• Проекция на ось Oy: $|\vec{i}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
• Проекция на ось Oz: $|\vec{i}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
Таким образом, координаты вектора $\vec{i}$ равны $(1; 0; 0)$.

Рассмотрим вектор $\vec{j}$. Это единичный вектор, сонаправленный с осью Oy, поэтому его длина $|\vec{j}| = 1$. Угол между вектором $\vec{j}$ и осью Oy равен $0^\circ$, а с осями Ox и Oz — $90^\circ$. Найдем его проекции:
• Проекция на ось Ox: $|\vec{j}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
• Проекция на ось Oy: $|\vec{j}| \cdot \cos(0^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$.
• Проекция на ось Oz: $|\vec{j}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
Следовательно, координаты вектора $\vec{j}$ равны $(0; 1; 0)$.

Рассмотрим вектор $\vec{k}$. Это единичный вектор, сонаправленный с осью Oz, поэтому его длина $|\vec{k}| = 1$. Угол между вектором $\vec{k}$ и осью Oz равен $0^\circ$, а с осями Ox и Oy — $90^\circ$. Найдем его проекции:
• Проекция на ось Ox: $|\vec{k}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
• Проекция на ось Oy: $|\vec{k}| \cdot \cos(90^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$.
• Проекция на ось Oz: $|\vec{k}| \cdot \cos(0^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$.
Значит, координаты вектора $\vec{k}$ равны $(0; 0; 1)$.

Ответ: На основе определения базисных векторов (ортов) как единичных векторов, сонаправленных с осями координат, и определения координат вектора как его проекций на эти оси, было показано, что $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$ и $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Эти векторы образуют ортонормированный базис в трехмерном пространстве.