Страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.71. По данным задачи 3.70 найдите:

1) $\cos(\angle BAC)$;

2) $\cos(\angle CAD)$;

3) $\cos(\angle ABC)$;

4) $\cos(\angle ADC)$.

Для решения этой задачи необходимо использовать данные из задачи 3.70. Как правило, в таких случаях имеется в виду четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 10$, $BC = 11$, $CD = 12$ и $AD = 9$. Чтобы задача имела единственное решение, необходимо предположить, что этот четырехугольник вписан в окружность. Это стандартное условие для подобных задач.

Свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$, и, следовательно, $\cos(\angle ADC) = \cos(180^\circ - \angle ABC) = -\cos(\angle ABC)$.

Для начала найдем длину диагонали $AC$, а также косинусы углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, в которых $AC$ является общей стороной. Применим теорему косинусов для каждого из них.
В $\triangle ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$
$AC^2 = 10^2 + 11^2 - 2 \cdot 10 \cdot 11 \cdot \cos(\angle ABC) = 221 - 220\cos(\angle ABC)$

В $\triangle ADC$:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)$
$AC^2 = 9^2 + 12^2 - 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos(\angle ADC) = 225 - 216\cos(\angle ADC)$

Используя свойство $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ABC)$, подставим его во второе уравнение:
$AC^2 = 225 - 216(-\cos(\angle ABC)) = 225 + 216\cos(\angle ABC)$

Приравняем полученные выражения для $AC^2$:
$221 - 220\cos(\angle ABC) = 225 + 216\cos(\angle ABC)$
$436\cos(\angle ABC) = -4$
$\cos(\angle ABC) = -\frac{4}{436} = -\frac{1}{109}$

Отсюда $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ABC) = \frac{1}{109}$.
Теперь найдем квадрат длины диагонали $AC^2$:
$AC^2 = 221 - 220(-\frac{1}{109}) = 221 + \frac{220}{109} = \frac{221 \cdot 109 + 220}{109} = \frac{24089 + 220}{109} = \frac{24309}{109} = 223$
Следовательно, $AC = \sqrt{223}$.
Теперь у нас есть все данные для ответа на вопросы задачи.

1) cos(∠BAC)
Применим теорему косинусов к $\triangle ABC$ для нахождения $\cos(\angle BAC)$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$
$11^2 = 10^2 + (\sqrt{223})^2 - 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{223} \cdot \cos(\angle BAC)$
$121 = 100 + 223 - 20\sqrt{223}\cos(\angle BAC)$
$121 = 323 - 20\sqrt{223}\cos(\angle BAC)$
$20\sqrt{223}\cos(\angle BAC) = 323 - 121 = 202$
$\cos(\angle BAC) = \frac{202}{20\sqrt{223}} = \frac{101}{10\sqrt{223}} = \frac{101\sqrt{223}}{10 \cdot 223} = \frac{101\sqrt{223}}{2230}$
Ответ: $\frac{101\sqrt{223}}{2230}$

2) cos(∠CAD)
Применим теорему косинусов к $\triangle ADC$ для нахождения $\cos(\angle CAD)$:
$CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2 \cdot AD \cdot AC \cdot \cos(\angle CAD)$
$12^2 = 9^2 + (\sqrt{223})^2 - 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{223} \cdot \cos(\angle CAD)$
$144 = 81 + 223 - 18\sqrt{223}\cos(\angle CAD)$
$144 = 304 - 18\sqrt{223}\cos(\angle CAD)$
$18\sqrt{223}\cos(\angle CAD) = 304 - 144 = 160$
$\cos(\angle CAD) = \frac{160}{18\sqrt{223}} = \frac{80}{9\sqrt{223}} = \frac{80\sqrt{223}}{9 \cdot 223} = \frac{80\sqrt{223}}{2007}$
Ответ: $\frac{80\sqrt{223}}{2007}$

3) cos (∠ABC)
Это значение было найдено в ходе предварительных вычислений.
Ответ: $-\frac{1}{109}$

4) cos(∠ADC)
Это значение было найдено из свойства вписанного четырехугольника: $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ABC)$.
Ответ: $\frac{1}{109}$

3.72. По данным задачи 3.70 найдите координаты середины отрезка:

1) $AB$;

2) $AD$;

3) $BC$;

4) $CD$.

Для нахождения координат $(x_c, y_c)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ используется формула:

$x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$

По данным задачи 3.70, координаты вершин четырехугольника ABCD следующие:

A(-6; 1), B(0; 5), C(6; -1), D(0; -5).

На основе этих данных найдем координаты середин указанных отрезков.

1) AB

Пусть M - середина отрезка AB. Координаты точек: A(-6; 1) и B(0; 5).

Координата x середины M: $x_M = \frac{-6 + 0}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Координата y середины M: $y_M = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (-3; 3).

Ответ: (-3; 3).

2) AD

Пусть K - середина отрезка AD. Координаты точек: A(-6; 1) и D(0; -5).

Координата x середины K: $x_K = \frac{-6 + 0}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Координата y середины K: $y_K = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, координаты середины отрезка AD равны (-3; -2).

Ответ: (-3; -2).

3) BC

Пусть P - середина отрезка BC. Координаты точек: B(0; 5) и C(6; -1).

Координата x середины P: $x_P = \frac{0 + 6}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Координата y середины P: $y_P = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, координаты середины отрезка BC равны (3; 2).

Ответ: (3; 2).

4) CD

Пусть L - середина отрезка CD. Координаты точек: C(6; -1) и D(0; -5).

Координата x середины L: $x_L = \frac{6 + 0}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Координата y середины L: $y_L = \frac{-1 + (-5)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, координаты середины отрезка CD равны (3; -3).

Ответ: (3; -3).

3.73. Даны точки A(2; 3; -2), B(4; -5; 6). Определите координаты точки С, делящей отрезок AB в отношении:

1) $\lambda = 1$;

2) $\lambda = \frac{2}{3}$;

3) $\lambda = 2$;

4) $\lambda = \frac{1}{2}$.

Для нахождения координат точки $C(x_C; y_C; z_C)$, которая делит отрезок с концами в точках $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$ в отношении $\lambda = AC/CB$, используются следующие формулы:

$x_C = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}$

$y_C = \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda}$

$z_C = \frac{z_A + \lambda z_B}{1 + \lambda}$

Исходные данные: точка $A(2; 3; -2)$ и точка $B(4; -5; 6)$.

1) $\lambda = 1$

Поскольку $\lambda = 1$, точка C является серединой отрезка AB. Подставим координаты точек A и B и значение $\lambda$ в формулы:

$x_C = \frac{2 + 1 \cdot 4}{1 + 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_C = \frac{3 + 1 \cdot (-5)}{1 + 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_C = \frac{-2 + 1 \cdot 6}{1 + 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Координаты точки C: (3; -1; 2).

Ответ: C(3; -1; 2).

2) $\lambda = \frac{2}{3}$

Подставим известные значения в формулы:

$x_C = \frac{2 + \frac{2}{3} \cdot 4}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{2 + \frac{8}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{6+8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{14}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{14}{5}$

$y_C = \frac{3 + \frac{2}{3} \cdot (-5)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3 - \frac{10}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{9-10}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{-1}{3} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}$

$z_C = \frac{-2 + \frac{2}{3} \cdot 6}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-2 + 4}{\frac{5}{3}} = \frac{2}{\frac{5}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$

Координаты точки C: ($\frac{14}{5}$; $-\frac{1}{5}$; $\frac{6}{5}$).

Ответ: C($\frac{14}{5}$; $-\frac{1}{5}$; $\frac{6}{5}$).

3) $\lambda = 2$

Подставим известные значения в формулы:

$x_C = \frac{2 + 2 \cdot 4}{1 + 2} = \frac{2 + 8}{3} = \frac{10}{3}$

$y_C = \frac{3 + 2 \cdot (-5)}{1 + 2} = \frac{3 - 10}{3} = -\frac{7}{3}$

$z_C = \frac{-2 + 2 \cdot 6}{1 + 2} = \frac{-2 + 12}{3} = \frac{10}{3}$

Координаты точки C: ($\frac{10}{3}$; $-\frac{7}{3}$; $\frac{10}{3}$).

Ответ: C($\frac{10}{3}$; $-\frac{7}{3}$; $\frac{10}{3}$).

4) $\lambda = \frac{1}{2}$

Подставим известные значения в формулы:

$x_C = \frac{2 + \frac{1}{2} \cdot 4}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2 + 2}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

$y_C = \frac{3 + \frac{1}{2} \cdot (-5)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{3 - \frac{5}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{6-5}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$z_C = \frac{-2 + \frac{1}{2} \cdot 6}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-2 + 3}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Координаты точки C: ($\frac{8}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$).

Ответ: C($\frac{8}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$).

3.74. Найдите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vec{a} = (\sqrt{2}; 2; -\sqrt{2} )$, $\vec{b} = (-3; 0; 3)$;

2) $\vec{a} = (0; -5; 0)$, $\vec{b} = (0; -\sqrt{3} ; -1)$.

1) Чтобы найти угол $\alpha$ между векторами $\vec{a} = (\sqrt{2}; 2; -\sqrt{2})$ и $\vec{b} = (-3; 0; 3)$, воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами, который равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (модулей):

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Для векторов с координатами $\vec{a} = (x_a; y_a; z_a)$ и $\vec{b} = (x_b; y_b; z_b)$ оно вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot (-3) + 2 \cdot 0 + (-\sqrt{2}) \cdot 3 = -3\sqrt{2} + 0 - 3\sqrt{2} = -6\sqrt{2}$

Теперь найдем длины векторов. Длина вектора $\vec{v} = (x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{-6\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-6\sqrt{2}}{6 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{-6\sqrt{2}}{6 \cdot 2} = \frac{-6\sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол $\alpha$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $135^\circ$ (или $\frac{3\pi}{4}$ радиан).

Ответ: $135^\circ$.

2) Найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{a} = (0; -5; 0)$ и $\vec{b} = (0; -\sqrt{3}; -1)$, используя ту же формулу.

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 0 + (-5) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot (-1) = 0 + 5\sqrt{3} + 0 = 5\sqrt{3}$

Вычислим длины векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$

$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{5\sqrt{3}}{5 \cdot 2} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, равен $30^\circ$ (или $\frac{\pi}{6}$ радиан).

Ответ: $30^\circ$.

3.75. Даны точки A(0; 2; -1), B(1; 0; 1) и C(-1; 4; 3). В треугольнике ABC найдите:

1) длину медианы $AA_1$;

2) $\cos\angle C$.

1) длину медианы AA₁

Медиана AA₁ соединяет вершину A с серединой стороны BC. Для нахождения ее длины сначала определим координаты точки A₁, которая является серединой отрезка BC с концами в точках B(1; 0; 1) и C(-1; 4; 3).

Координаты середины отрезка ($x_{A_1}$, $y_{A_1}$, $z_{A_1}$) вычисляются по формулам:

$x_{A_1} = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_{A_1} = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$z_{A_1} = \frac{z_B + z_C}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, точка A₁ имеет координаты (0; 2; 2).

Теперь найдем длину медианы AA₁, которая равна расстоянию между точками A(0; 2; -1) и A₁(0; 2; 2). Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Подставляем координаты точек A и A₁:

$|AA_1| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 2)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (2+1)^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3.

2) cos∠C

Угол C в треугольнике ABC является углом между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$. Косинус этого угла можно найти, используя скалярное произведение векторов по формуле:

$\cos\angle C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|}$

Сначала найдем координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, исходя из координат точек A(0; 2; -1), B(1; 0; 1) и C(-1; 4; 3).

Координаты вектора, идущего из точки $P_1(x_1, y_1, z_1)$ в точку $P_2(x_2, y_2, z_2)$, равны $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C; z_A - z_C) = (0 - (-1); 2 - 4; -1 - 3) = (1; -2; -4)$

$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C; z_B - z_C) = (1 - (-1); 0 - 4; 1 - 3) = (2; -4; -2)$

Далее вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + (-4) \cdot (-2) = 2 + 8 + 8 = 18$

Теперь найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{CA}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$

$|\vec{CB}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos\angle C = \frac{18}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{18}{\sqrt{21} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{21 \cdot 6}} = \frac{9}{\sqrt{126}}$

Упростим полученное выражение. Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$.

$\cos\angle C = \frac{9}{3\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{14}$:

$\cos\angle C = \frac{3 \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{14}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{14}}{14}$.

3.76. Дан треугольник ABC, где A(2; 1; 3), B(2; 1; 4), C(0; 4; 3). Найдите:

1) $\angle B$;

2) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$;

3) длину медианы $AA_1$.

1) ∠B

Угол $B$ треугольника $ABC$ является углом между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Для его нахождения воспользуемся формулой косинуса угла между векторами, который равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (модулей):

$\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}$

Сначала найдем координаты векторов, вычитая из координат точки конца координаты точки начала:

$\vec{BA} = (2-2; 1-1; 3-4) = (0; 0; -1)$

$\vec{BC} = (0-2; 4-1; 3-4) = (-2; 3; -1)$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) = 1$

Далее найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

Подставим все найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos(\angle B) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$

Таким образом, угол $B$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)$.

2) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

Для вычисления скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, сперва найдем их координаты.

$\vec{AB} = (2-2; 1-1; 4-3) = (0; 0; 1)$

$\vec{AC} = (0-2; 4-1; 3-3) = (-2; 3; 0)$

Скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих координат:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

3) длину медианы AA₁

Медиана $AA_1$ соединяет вершину $A$ с точкой $A_1$, которая является серединой стороны $BC$. Сначала найдем координаты точки $A_1$, которые равны полусумме соответствующих координат точек $B$ и $C$.

$A_1 = \left(\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}; \frac{z_B + z_C}{2}\right) = \left(\frac{2+0}{2}; \frac{1+4}{2}; \frac{4+3}{2}\right) = \left(1; \frac{5}{2}; \frac{7}{2}\right)$.

Длина медианы $AA_1$ равна длине (модулю) вектора $\vec{AA_1}$. Найдем координаты этого вектора:

$\vec{AA_1} = \left(1-2; \frac{5}{2}-1; \frac{7}{2}-3\right) = \left(-1; \frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

Теперь вычислим длину вектора $\vec{AA_1}$:

$|\vec{AA_1}| = \sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{10}{4}} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{2}$.

3.77. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ попарно образуют углы, равные $60^\circ$, и $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{c}|=3$. Найдите скалярное произведение $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{c})$.

Для нахождения скалярного произведения $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{c})$ раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{c}$

Теперь вычислим каждое скалярное произведение в правой части равенства, используя формулу $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| \cdot |\vec{y}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами, а также свойство скалярного квадрата $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$.

Из условия задачи нам известно:

• $|\vec{a}|=1$
• $|\vec{b}|=2$
• $|\vec{c}|=3$
• Угол между любой парой векторов $(\vec{a}, \vec{b})$, $(\vec{a}, \vec{c})$, $(\vec{b}, \vec{c})$ равен $60^\circ$.
• $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Выполним вычисления:

1. $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1^2 = 1$.

2. $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$.

3. $\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{b}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

4. $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| \cdot |\vec{c}| \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Подставим полученные значения в разложенное выражение:

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{c}) = 1 - 1.5 + 1 - 3 = 2 - 4.5 = -2.5$.

Ответ: $-2.5$.

3.78. Найдите длины диагоналей параллелограмма ABCD, если известно, что $\vec{AB} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{b}$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$ и $(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) = 60^\circ$.

Векторы диагоналей параллелограмма $ABCD$ можно выразить через векторы его смежных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Диагональ $\vec{AC}$ является их суммой, а диагональ $\vec{BD}$ — их разностью.

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Используя данные из условия задачи, подставим выражения для векторов сторон:
$\vec{AB} = 2\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{b}$

Нахождение длины диагонали AC

Найдем вектор диагонали $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = (2\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{a} + 3\vec{b}) = 3\vec{a} + 2\vec{b}$.

Длина вектора равна квадратному корню из его скалярного квадрата. Найдем скалярный квадрат вектора $\vec{AC}$:
$|\vec{AC}|^2 = (3\vec{a} + 2\vec{b})^2 = (3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} + 2\vec{b})$
$= 9(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$.

Для дальнейших вычислений найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})$.
Из условия задачи имеем: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) = 60^\circ$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Теперь подставим все известные значения в выражение для квадрата длины диагонали $\vec{AC}$:
$|\vec{AC}|^2 = 9 \cdot 3^2 + 12 \cdot 3 + 4 \cdot 2^2 = 9 \cdot 9 + 36 + 4 \cdot 4 = 81 + 36 + 16 = 133$.
Следовательно, длина диагонали AC равна $|\vec{AC}| = \sqrt{133}$.

Нахождение длины диагонали BD

Найдем вектор диагонали $\vec{BD}$:
$\vec{BD} = (\vec{a} + 3\vec{b}) - (2\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} + 3\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + 4\vec{b}$.

Найдем скалярный квадрат вектора $\vec{BD}$:
$|\vec{BD}|^2 = (-\vec{a} + 4\vec{b})^2 = (-\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (-\vec{a} + 4\vec{b})$
$= (\vec{a} \cdot \vec{a}) - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16(\vec{b} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:
$|\vec{BD}|^2 = 3^2 - 8 \cdot 3 + 16 \cdot 2^2 = 9 - 24 + 16 \cdot 4 = 9 - 24 + 64 = 49$.
Следовательно, длина диагонали BD равна $|\vec{BD}| = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: длины диагоналей параллелограмма равны $7$ и $\sqrt{133}$.

3.79. Угол между единичными векторами $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_2$ равен $\alpha$. Найдите угол между векторами:

1) $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_1 + \vec{e}_2$;

2) $\vec{e}_2$ и $\vec{e}_1 - \vec{e}_2$;

3) $\vec{e}_1 + \vec{e}_2$ и $\vec{e}_1 - \vec{e}_2$.

По условию, векторы $ \vec{e}_1 $ и $ \vec{e}_2 $ являются единичными, то есть их модули (длины) равны 1: $ |\vec{e}_1| = 1 $ и $ |\vec{e}_2| = 1 $. Угол между ними равен $ \alpha $.

Из определения скалярного произведения следует: $ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = |\vec{e}_1| |\vec{e}_2| \cos\alpha = 1 \cdot 1 \cdot \cos\alpha = \cos\alpha $.

Также, скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = |\vec{e}_1|^2 = 1^2 = 1 $ $ \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = |\vec{e}_2|^2 = 1^2 = 1 $

Для нахождения угла $ \theta $ между двумя произвольными векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ используется формула: $ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} $

1) $ \vec{e}_1 $ и $ \vec{e}_1 + \vec{e}_2 $

Пусть $ \vec{a} = \vec{e}_1 $ и $ \vec{b} = \vec{e}_1 + \vec{e}_2 $. Найдем угол $ \theta_1 $ между ними.

Найдем скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{e}_1 \cdot (\vec{e}_1 + \vec{e}_2) = \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 + \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = 1 + \cos\alpha $.

Найдем модули векторов. Модуль $ |\vec{a}| = |\vec{e}_1| = 1 $.

Найдем модуль $ |\vec{b}| = |\vec{e}_1 + \vec{e}_2| $: $ |\vec{b}|^2 = (\vec{e}_1 + \vec{e}_2) \cdot (\vec{e}_1 + \vec{e}_2) = \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 + 2(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2) + \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1 + 2\cos\alpha + 1 = 2(1 + \cos\alpha) $.

Применим тригонометрическую формулу понижения степени $ 1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) $: $ |\vec{b}|^2 = 2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4\cos^2(\frac{\alpha}{2}) $. Отсюда $ |\vec{b}| = \sqrt{4\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = 2|\cos(\frac{\alpha}{2})| $. Поскольку угол между векторами $ \alpha \in [0, \pi] $, то $ \frac{\alpha}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}] $, и $ \cos(\frac{\alpha}{2}) \ge 0 $. Значит, $ |\vec{b}| = 2\cos(\frac{\alpha}{2}) $.

Теперь можем найти косинус угла $ \theta_1 $: $ \cos\theta_1 = \frac{1 + \cos\alpha}{1 \cdot 2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \cos(\frac{\alpha}{2}) $.

Следовательно, искомый угол $ \theta_1 = \frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ \frac{\alpha}{2} $.

2) $ \vec{e}_2 $ и $ \vec{e}_1 - \vec{e}_2 $

Пусть $ \vec{c} = \vec{e}_2 $ и $ \vec{d} = \vec{e}_1 - \vec{e}_2 $. Найдем угол $ \theta_2 $ между ними.

Найдем скалярное произведение $ \vec{c} \cdot \vec{d} $: $ \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{e}_2 \cdot (\vec{e}_1 - \vec{e}_2) = \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_1 - \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = \cos\alpha - 1 $.

Найдем модули векторов. Модуль $ |\vec{c}| = |\vec{e}_2| = 1 $.

Найдем модуль $ |\vec{d}| = |\vec{e}_1 - \vec{e}_2| $: $ |\vec{d}|^2 = (\vec{e}_1 - \vec{e}_2) \cdot (\vec{e}_1 - \vec{e}_2) = \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 - 2(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2) + \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1 - 2\cos\alpha + 1 = 2(1 - \cos\alpha) $.

Применим тригонометрическую формулу $ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) $: $ |\vec{d}|^2 = 2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4\sin^2(\frac{\alpha}{2}) $. Отсюда $ |\vec{d}| = \sqrt{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2|\sin(\frac{\alpha}{2})| $. Так как $ \frac{\alpha}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}] $, то $ \sin(\frac{\alpha}{2}) \ge 0 $. Значит, $ |\vec{d}| = 2\sin(\frac{\alpha}{2}) $.

Теперь можем найти косинус угла $ \theta_2 $: $ \cos\theta_2 = \frac{\cos\alpha - 1}{1 \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{-(1 - \cos\alpha)}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{-2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = -\sin(\frac{\alpha}{2}) $.

Используя формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x $, получаем $ \cos\theta_2 = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}) $.

Следовательно, искомый угол $ \theta_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2} $.

3) $ \vec{e}_1 + \vec{e}_2 $ и $ \vec{e}_1 - \vec{e}_2 $

Пусть $ \vec{b} = \vec{e}_1 + \vec{e}_2 $ и $ \vec{d} = \vec{e}_1 - \vec{e}_2 $. Найдем угол $ \theta_3 $ между ними.

Найдем скалярное произведение $ \vec{b} \cdot \vec{d} $: $ \vec{b} \cdot \vec{d} = (\vec{e}_1 + \vec{e}_2) \cdot (\vec{e}_1 - \vec{e}_2) $.

Это формула разности квадратов для векторов: $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 $. $ \vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{e}_1|^2 - |\vec{e}_2|^2 = 1^2 - 1^2 = 0 $.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Это справедливо, если сами векторы не являются нулевыми, что выполняется при $ \alpha \neq 0 $ и $ \alpha \neq \pi $.

$ \cos\theta_3 = \frac{\vec{b} \cdot \vec{d}}{|\vec{b}| |\vec{d}|} = \frac{0}{|\vec{b}| |\vec{d}|} = 0 $.

Следовательно, угол $ \theta_3 = \frac{\pi}{2} $. Геометрически векторы $ \vec{e}_1 + \vec{e}_2 $ и $ \vec{e}_1 - \vec{e}_2 $ являются диагоналями ромба, построенного на векторах $ \vec{e}_1 $ и $ \vec{e}_2 $. Диагонали ромба всегда взаимно перпендикулярны.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

3.80. При каком значении $ \beta $ векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ ортогональны:

1) $ \vec{a}=(\beta; -7; 5) $, $ \vec{b}=(2; 3; \beta) $;

2) $ \vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+\beta\vec{k} $, $ \vec{b}=\beta\vec{i}-3\vec{j}-8\vec{k} $?

Два вектора являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Приравняем скалярное произведение векторов к нулю и найдем значение $\beta$ для каждого случая.

1) Даны векторы $\vec{a} = \{\beta; -7; 5\}$ и $\vec{b} = \{2; 3; \beta\}$.

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \beta \cdot 2 + (-7) \cdot 3 + 5 \cdot \beta = 2\beta - 21 + 5\beta = 7\beta - 21$

Приравняем результат к нулю, чтобы удовлетворить условию ортогональности:

$7\beta - 21 = 0$

$7\beta = 21$

$\beta = \frac{21}{7} = 3$

Ответ: $\beta = 3$.

2) Даны векторы $\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + \beta\vec{k}$ и $\vec{b} = \beta\vec{i} - 3\vec{j} - 8\vec{k}$.

Запишем координаты этих векторов:

$\vec{a} = \{2; -1; \beta\}$

$\vec{b} = \{\beta; -3; -8\}$

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot \beta + (-1) \cdot (-3) + \beta \cdot (-8) = 2\beta + 3 - 8\beta = -6\beta + 3$

Приравняем результат к нулю:

$-6\beta + 3 = 0$

$3 = 6\beta$

$\beta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\beta = \frac{1}{2}$.

3.81. Даны точки $A(0; -3; 1)$, $B(0; 3; -1)$, $C(-5; 0; 0)$ и $D(-6; -6; 2)$. Покажите, что прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны.

Чтобы доказать, что прямые AC и BD перпендикулярны, нужно показать, что их направляющие векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ ортогональны. Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

1. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AC}$.
Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца (точка C) и начала (точка A).
Даны точки $A(0; -3; 1)$ и $C(-5; 0; 0)$.
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (-5 - 0; 0 - (-3); 0 - 1) = (-5; 3; -1)$.

2. Найдем координаты направляющего вектора $\vec{BD}$.
Аналогично, найдем разность координат точек D и B.
Даны точки $B(0; 3; -1)$ и $D(-6; -6; 2)$.
$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B) = (-6 - 0; -6 - 3; 2 - (-1)) = (-6; -9; 3)$.

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.
Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-5) \cdot (-6) + 3 \cdot (-9) + (-1) \cdot 3 = 30 - 27 - 3 = 0$.

Поскольку скалярное произведение направляющих векторов прямых AC и BD равно нулю, эти векторы ортогональны, а значит, и сами прямые перпендикулярны.

Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$, что и требовалось доказать.