Номер 3.79, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.79. Угол между единичными векторами $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_2$ равен $\alpha$. Найдите угол между векторами:

1) $\vec{e}_1$ и $\vec{e}_1 + \vec{e}_2$;

2) $\vec{e}_2$ и $\vec{e}_1 - \vec{e}_2$;

3) $\vec{e}_1 + \vec{e}_2$ и $\vec{e}_1 - \vec{e}_2$.

По условию, векторы $ \vec{e}_1 $ и $ \vec{e}_2 $ являются единичными, то есть их модули (длины) равны 1: $ |\vec{e}_1| = 1 $ и $ |\vec{e}_2| = 1 $. Угол между ними равен $ \alpha $.

Из определения скалярного произведения следует: $ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = |\vec{e}_1| |\vec{e}_2| \cos\alpha = 1 \cdot 1 \cdot \cos\alpha = \cos\alpha $.

Также, скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $ \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = |\vec{e}_1|^2 = 1^2 = 1 $ $ \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = |\vec{e}_2|^2 = 1^2 = 1 $

Для нахождения угла $ \theta $ между двумя произвольными векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ используется формула: $ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} $

1) $ \vec{e}_1 $ и $ \vec{e}_1 + \vec{e}_2 $

Пусть $ \vec{a} = \vec{e}_1 $ и $ \vec{b} = \vec{e}_1 + \vec{e}_2 $. Найдем угол $ \theta_1 $ между ними.

Найдем скалярное произведение $ \vec{a} \cdot \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{e}_1 \cdot (\vec{e}_1 + \vec{e}_2) = \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 + \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = 1 + \cos\alpha $.

Найдем модули векторов. Модуль $ |\vec{a}| = |\vec{e}_1| = 1 $.

Найдем модуль $ |\vec{b}| = |\vec{e}_1 + \vec{e}_2| $: $ |\vec{b}|^2 = (\vec{e}_1 + \vec{e}_2) \cdot (\vec{e}_1 + \vec{e}_2) = \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 + 2(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2) + \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1 + 2\cos\alpha + 1 = 2(1 + \cos\alpha) $.

Применим тригонометрическую формулу понижения степени $ 1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) $: $ |\vec{b}|^2 = 2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 4\cos^2(\frac{\alpha}{2}) $. Отсюда $ |\vec{b}| = \sqrt{4\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = 2|\cos(\frac{\alpha}{2})| $. Поскольку угол между векторами $ \alpha \in [0, \pi] $, то $ \frac{\alpha}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}] $, и $ \cos(\frac{\alpha}{2}) \ge 0 $. Значит, $ |\vec{b}| = 2\cos(\frac{\alpha}{2}) $.

Теперь можем найти косинус угла $ \theta_1 $: $ \cos\theta_1 = \frac{1 + \cos\alpha}{1 \cdot 2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} = \cos(\frac{\alpha}{2}) $.

Следовательно, искомый угол $ \theta_1 = \frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ \frac{\alpha}{2} $.

2) $ \vec{e}_2 $ и $ \vec{e}_1 - \vec{e}_2 $

Пусть $ \vec{c} = \vec{e}_2 $ и $ \vec{d} = \vec{e}_1 - \vec{e}_2 $. Найдем угол $ \theta_2 $ между ними.

Найдем скалярное произведение $ \vec{c} \cdot \vec{d} $: $ \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{e}_2 \cdot (\vec{e}_1 - \vec{e}_2) = \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_1 - \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = \cos\alpha - 1 $.

Найдем модули векторов. Модуль $ |\vec{c}| = |\vec{e}_2| = 1 $.

Найдем модуль $ |\vec{d}| = |\vec{e}_1 - \vec{e}_2| $: $ |\vec{d}|^2 = (\vec{e}_1 - \vec{e}_2) \cdot (\vec{e}_1 - \vec{e}_2) = \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 - 2(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2) + \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1 - 2\cos\alpha + 1 = 2(1 - \cos\alpha) $.

Применим тригонометрическую формулу $ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) $: $ |\vec{d}|^2 = 2 \cdot 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) = 4\sin^2(\frac{\alpha}{2}) $. Отсюда $ |\vec{d}| = \sqrt{4\sin^2(\frac{\alpha}{2})} = 2|\sin(\frac{\alpha}{2})| $. Так как $ \frac{\alpha}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}] $, то $ \sin(\frac{\alpha}{2}) \ge 0 $. Значит, $ |\vec{d}| = 2\sin(\frac{\alpha}{2}) $.

Теперь можем найти косинус угла $ \theta_2 $: $ \cos\theta_2 = \frac{\cos\alpha - 1}{1 \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{-(1 - \cos\alpha)}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{-2\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = -\sin(\frac{\alpha}{2}) $.

Используя формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x $, получаем $ \cos\theta_2 = \cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2}) $.

Следовательно, искомый угол $ \theta_2 = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha}{2} $.

3) $ \vec{e}_1 + \vec{e}_2 $ и $ \vec{e}_1 - \vec{e}_2 $

Пусть $ \vec{b} = \vec{e}_1 + \vec{e}_2 $ и $ \vec{d} = \vec{e}_1 - \vec{e}_2 $. Найдем угол $ \theta_3 $ между ними.

Найдем скалярное произведение $ \vec{b} \cdot \vec{d} $: $ \vec{b} \cdot \vec{d} = (\vec{e}_1 + \vec{e}_2) \cdot (\vec{e}_1 - \vec{e}_2) $.

Это формула разности квадратов для векторов: $ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 $. $ \vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{e}_1|^2 - |\vec{e}_2|^2 = 1^2 - 1^2 = 0 $.

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Это справедливо, если сами векторы не являются нулевыми, что выполняется при $ \alpha \neq 0 $ и $ \alpha \neq \pi $.

$ \cos\theta_3 = \frac{\vec{b} \cdot \vec{d}}{|\vec{b}| |\vec{d}|} = \frac{0}{|\vec{b}| |\vec{d}|} = 0 $.

Следовательно, угол $ \theta_3 = \frac{\pi}{2} $. Геометрически векторы $ \vec{e}_1 + \vec{e}_2 $ и $ \vec{e}_1 - \vec{e}_2 $ являются диагоналями ромба, построенного на векторах $ \vec{e}_1 $ и $ \vec{e}_2 $. Диагонали ромба всегда взаимно перпендикулярны.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.