Номер 3.82, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.82. Дан треугольник $ABC$ с вершинами $A(2; 1; -4)$, $B(4; 0; -2)$, $C(0; -3; 0)$.

Найдите:

1) $\cos \angle A$;

2) угол между медианой $AA_1$ и стороной $AC$;

3) длину медианы $AA_1$;

4) координаты точки пересечения медиан данного треугольника.

1) cos∠A; Угол A треугольника ABC является углом между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Для его нахождения сначала определим координаты этих векторов, исходя из координат вершин треугольника A(2; 1; -4), B(4; 0; -2) и C(0; -3; 0). Координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются как разность координат его конца (B) и начала (A): $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4 - 2; 0 - 1; -2 - (-4)) = (2; -1; 2)$. Аналогично для вектора $\vec{AC}$: $\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (0 - 2; -3 - 1; 0 - (-4)) = (-2; -4; 4)$. Косинус угла между двумя векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (модулей): $\cos \angle A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}$. Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равно: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-4) + 2 \cdot 4 = -4 + 4 + 8 = 8$. Длина вектора $\vec{AB}$ равна: $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$. Длина вектора $\vec{AC}$ равна: $|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$. Подставляем найденные значения в формулу для косинуса угла A: $\cos \angle A = \frac{8}{3 \cdot 6} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$. Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) угол между медианой AA₁ и стороной AC; Медиана AA₁ соединяет вершину A с серединой противолежащей стороны BC. Найдем координаты точки A₁, которая является серединой отрезка BC. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов. Для B(4; 0; -2) и C(0; -3; 0) координаты A₁ будут: $x_{A_1} = \frac{4+0}{2} = 2$; $y_{A_1} = \frac{0+(-3)}{2} = -1.5$; $z_{A_1} = \frac{-2+0}{2} = -1$. Таким образом, точка A₁ имеет координаты (2; -1.5; -1). Теперь найдем вектор медианы $\vec{AA_1}$, зная координаты точек A(2; 1; -4) и A₁(2; -1.5; -1): $\vec{AA_1} = (2 - 2; -1.5 - 1; -1 - (-4)) = (0; -2.5; 3)$. Вектор стороны $\vec{AC}$ был найден в пункте 1: $\vec{AC} = (-2; -4; 4)$. Пусть $\beta$ — угол между медианой AA₁ и стороной AC. Косинус этого угла равен: $\cos \beta = \frac{\vec{AA_1} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AA_1}| \cdot |\vec{AC}|}$. Скалярное произведение векторов: $\vec{AA_1} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot (-2) + (-2.5) \cdot (-4) + 3 \cdot 4 = 0 + 10 + 12 = 22$. Длина вектора $\vec{AA_1}$: $|\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + (-2.5)^2 + 3^2} = \sqrt{6.25 + 9} = \sqrt{15.25} = \sqrt{\frac{61}{4}} = \frac{\sqrt{61}}{2}$. Длина вектора $\vec{AC}$ была найдена ранее и равна 6. Теперь вычислим косинус угла $\beta$: $\cos \beta = \frac{22}{\frac{\sqrt{61}}{2} \cdot 6} = \frac{22}{3\sqrt{61}} = \frac{22\sqrt{61}}{183}$. Сам угол $\beta$ равен арккосинусу этого значения: $\beta = \arccos\left(\frac{22\sqrt{61}}{183}\right)$. Ответ: $\arccos\left(\frac{22\sqrt{61}}{183}\right)$.

3) длину медианы AA₁; Длина медианы AA₁ равна модулю вектора $\vec{AA_1}$. Вектор и его модуль были вычислены в предыдущем пункте. Вектор медианы: $\vec{AA_1} = (0; -2.5; 3)$. Длина медианы AA₁: $|\vec{AA_1}| = \sqrt{0^2 + (-2.5)^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 6.25 + 9} = \sqrt{15.25}$. Преобразуем десятичную дробь под корнем в обыкновенную: $\sqrt{15.25} = \sqrt{\frac{1525}{100}} = \sqrt{\frac{61}{4}} = \frac{\sqrt{61}}{2}$. Ответ: $\frac{\sqrt{61}}{2}$.

4) координаты точки пересечения медиан данного треугольника. Точка пересечения медиан треугольника (также называемая центроидом) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат всех трех вершин треугольника. Пусть M - точка пересечения медиан. Ее координаты $(x_M, y_M, z_M)$ вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_A+x_B+x_C}{3}$, $y_M = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}$, $z_M = \frac{z_A+z_B+z_C}{3}$. Подставим координаты вершин A(2; 1; -4), B(4; 0; -2), C(0; -3; 0): $x_M = \frac{2+4+0}{3} = \frac{6}{3} = 2$. $y_M = \frac{1+0+(-3)}{3} = \frac{-2}{3}$. $z_M = \frac{-4+(-2)+0}{3} = \frac{-6}{3} = -2$. Таким образом, координаты точки пересечения медиан: M(2; $-\frac{2}{3}$; -2). Ответ: (2; $-\frac{2}{3}$; -2).