Номер 3.88, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.88. Радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ с осями координат составляет углы, равные $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Докажите, что $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$, где $\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\gamma$ называются направляющими косинусами вектора $\overrightarrow{OM}$.

Пусть радиус-вектор $\overrightarrow{OM}$ в прямоугольной декартовой системе координат имеет начало в точке $O(0, 0, 0)$ и конец в точке $M(x, y, z)$. Координаты вектора $\overrightarrow{OM}$ равны координатам точки $M$, то есть $\overrightarrow{OM} = (x, y, z)$.

Длина (модуль) вектора $\overrightarrow{OM}$ вычисляется по формуле: $|\overrightarrow{OM}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — это углы между вектором $\overrightarrow{OM}$ и положительными направлениями координатных осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Направляющими векторами этих осей являются единичные векторы (орты) $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ и $\vec{k}=(0,0,1)$.

Косинус угла между двумя векторами можно найти через их скалярное произведение.

Для угла $\alpha$ между $\overrightarrow{OM}$ и осью $Ox$ (вектором $\vec{i}$): $\cos\alpha = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \vec{i}}{|\overrightarrow{OM}| |\vec{i}|} = \frac{(x, y, z) \cdot (1, 0, 0)}{|\overrightarrow{OM}| \cdot 1} = \frac{x \cdot 1 + y \cdot 0 + z \cdot 0}{|\overrightarrow{OM}|} = \frac{x}{|\overrightarrow{OM}|}$.

Для угла $\beta$ между $\overrightarrow{OM}$ и осью $Oy$ (вектором $\vec{j}$): $\cos\beta = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \vec{j}}{|\overrightarrow{OM}| |\vec{j}|} = \frac{(x, y, z) \cdot (0, 1, 0)}{|\overrightarrow{OM}| \cdot 1} = \frac{x \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot 0}{|\overrightarrow{OM}|} = \frac{y}{|\overrightarrow{OM}|}$.

Для угла $\gamma$ между $\overrightarrow{OM}$ и осью $Oz$ (вектором $\vec{k}$): $\cos\gamma = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \vec{k}}{|\overrightarrow{OM}| |\vec{k}|} = \frac{(x, y, z) \cdot (0, 0, 1)}{|\overrightarrow{OM}| \cdot 1} = \frac{x \cdot 0 + y \cdot 0 + z \cdot 1}{|\overrightarrow{OM}|} = \frac{z}{|\overrightarrow{OM}|}$.

Эти косинусы $\cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\gamma$ называются направляющими косинусами вектора $\overrightarrow{OM}$.

Теперь подставим полученные выражения в левую часть доказываемого тождества $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = \left(\frac{x}{|\overrightarrow{OM}|}\right)^2 + \left(\frac{y}{|\overrightarrow{OM}|}\right)^2 + \left(\frac{z}{|\overrightarrow{OM}|}\right)^2$.

Упростим выражение: $\frac{x^2}{|\overrightarrow{OM}|^2} + \frac{y^2}{|\overrightarrow{OM}|^2} + \frac{z^2}{|\overrightarrow{OM}|^2} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{|\overrightarrow{OM}|^2}$.

Так как квадрат длины вектора $|\overrightarrow{OM}|^2 = x^2 + y^2 + z^2$, мы можем подставить это в полученное выражение: $\frac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2} = 1$.

Таким образом, мы доказали, что $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$ доказано.