Вопросы?, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие данные достаточно задать, чтобы определить плоскость?

2. Какой вектор называется вектором нормали плоскости?

3. Что такое начальная точка плоскости? Какой может быть эта точка?

4. Напишите уравнение плоскости, заданной вектором нормали. Напишите общее уравнение плоскости.

5. Что такое сфера? Запишите уравнение сферы?

6. Какое тело называется шаром? Каким неравенством он определяется?

7. Какое неравенства (строгое или нестрогое) определяет полупространства, если задано уравнение плоскости, ограничивающей эти полупространства?

1. Какие данные достаточно задать, чтобы определить плоскость?

Плоскость в трехмерном пространстве может быть однозначно определена одним из следующих способов:
1) Через три точки, не лежащие на одной прямой. Если три точки $M_1, M_2, M_3$ не коллинеарны, через них проходит единственная плоскость.
2) Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой.
3) Через две пересекающиеся прямые.
4) Через две параллельные прямые.
5) Через точку и вектор нормали. Плоскость однозначно определяется, если задана точка, через которую она проходит, и ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Ответ: Чтобы определить плоскость, достаточно задать либо три точки, не лежащие на одной прямой, либо прямую и точку вне ее, либо две пересекающиеся или параллельные прямые, либо точку на плоскости и вектор нормали к ней.

2. Какой вектор называется вектором нормали плоскости?

Вектором нормали (или нормальным вектором) к плоскости называется любой ненулевой вектор, который перпендикулярен (ортогонален) этой плоскости. Это означает, что вектор нормали перпендикулярен любому вектору, лежащему в данной плоскости. Если $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости, а $\vec{v}$ — любой вектор, параллельный этой плоскости (или лежащий в ней), то их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$. Все векторы нормали к одной и той же плоскости коллинеарны, то есть параллельны друг другу.

Ответ: Вектор нормали плоскости — это любой ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости.

3. Что такое начальная точка плоскости? Какой может быть эта точка?

Термин "начальная точка плоскости" не является стандартным общепринятым термином в аналитической геометрии. Обычно под этим подразумевают конкретную точку, которая используется для задания уравнения плоскости. Например, при задании плоскости через точку и вектор нормали, эта точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$ может быть названа "начальной" или "опорной". Она фиксирует положение плоскости в пространстве, в то время как вектор нормали определяет ее ориентацию (наклон). В качестве такой "начальной" точки может быть выбрана абсолютно любая точка, принадлежащая данной плоскости.

Ответ: "Начальная точка" плоскости — это любая точка, принадлежащая этой плоскости, координаты которой используются для составления ее уравнения. Любая точка плоскости может быть выбрана в качестве начальной.

4. Напишите уравнение плоскости, заданной вектором нормали. Напишите общее уравнение плоскости.

Пусть плоскость $\alpha$ проходит через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеет ненулевой вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$. Возьмем на плоскости произвольную точку $M(x, y, z)$. Тогда вектор $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ лежит в плоскости $\alpha$. Поскольку вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен любому вектору в плоскости, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$.
Распишем это в координатах:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
Это уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору нормали.
Если в этом уравнении раскрыть скобки, получим:
$Ax + By + Cz + (-Ax_0 - By_0 - Cz_0) = 0$
Обозначив свободный член $D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0$, мы приходим к общему уравнению плоскости:
$Ax + By + Cz + D = 0$
Здесь коэффициенты $A, B, C$ являются координатами вектора нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, причем хотя бы один из них не равен нулю.

Ответ: Уравнение плоскости, заданной точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и вектором нормали $\vec{n}=(A, B, C)$: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$. Общее уравнение плоскости: $Ax + By + Cz + D = 0$.

5. Что такое сфера? Запишите уравнение сферы?

Сфера — это замкнутая поверхность, геометрическое место точек в трехмерном пространстве, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром сферы. Расстояние от центра до любой точки сферы называется радиусом сферы.
Чтобы записать уравнение сферы, пусть ее центр находится в точке $C(x_0, y_0, z_0)$, а радиус равен $R$. Любая точка $M(x, y, z)$, лежащая на сфере, находится на расстоянии $R$ от центра $C$. Расстояние между точками $M$ и $C$ вычисляется по формуле:
$|\vec{CM}| = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2}$
Так как это расстояние равно радиусу $R$, получаем:
$\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2} = R$
Возведя обе части в квадрат, получим каноническое уравнение сферы:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$
Если центр сферы совпадает с началом координат $(0, 0, 0)$, уравнение упрощается до $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.

Ответ: Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии (радиусе) от заданной точки (центра). Уравнение сферы с центром в $(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

6. Какое тело называется шаром? Каким неравенством он определяется?

Шар — это геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не превышающем заданное расстояние (радиус), от данной точки (центра). Иными словами, шар — это часть пространства, ограниченная сферой и включающая эту сферу.
Если сфера, ограничивающая шар, имеет центр в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиус $R$, то любая точка $M(x, y, z)$ внутри шара или на его границе удовлетворяет условию, что расстояние от нее до центра не больше радиуса: $|\vec{CM}| \le R$. Это приводит к следующему неравенству, которое определяет шар:
$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \leq R^2$
Это неравенство описывает замкнутый шар (включая его границу-сферу). Открытый шар (без границы) задается строгим неравенством: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 < R^2$.

Ответ: Шар — это тело, ограниченное сферой. Он определяется неравенством $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \leq R^2$, где $(x_0, y_0, z_0)$ — центр шара, а $R$ — его радиус.

7. Какое неравенства (строгое или нестрогое) определяет полупространства, если задано уравнение плоскости, ограничивающей эти полупространства?

Плоскость, заданная общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, делит все пространство на два полупространства. Тип неравенства (строгое или нестрогое) определяет, включается ли в полупространство сама граничная плоскость.
Строгое неравенство ($>$ или $<$) определяет открытое полупространство, то есть множество точек, лежащих по одну сторону от плоскости, но не включая саму плоскость. Например, $Ax + By + Cz + D > 0$.
Нестрогое неравенство ($\ge$ или $\le$) определяет замкнутое полупространство, которое включает как точки открытого полупространства, так и точки самой граничной плоскости. Например, $Ax + By + Cz + D \ge 0$.
Таким образом, выбор между строгим и нестрогим неравенством определяет, является ли полупространство "открытым" или "замкнутым".

Ответ: Строгое неравенство ($>$ или $<$) определяет открытое полупространство (без граничной плоскости), а нестрогое неравенство ($\ge$ или $\le$) определяет замкнутое полупространство (включая граничную плоскость).