Номер 3.87, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.87. Дан треугольник ABC с вершинами A($x_1$; $y_1$; $z_1$), B($x_2$; $y_2$; $z_2$), C($x_3$; $y_3$; $z_3$) Докажите, что координаты точки пересечения медиан ΔABC определяются по формулам

$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$, $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$, $z = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$.

Пользуясь этой формулой, найдите координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, если:

1) A(3; 1; 0), B(-1; 4; 4), C(1; 1; -2)

2) A(7; 9; 1), B(-2; -3; 2), C(1; 5; 5)

Доказательство

Пусть дан треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(x_1; y_1; z_1)$, $B(x_2; y_2; z_2)$ и $C(x_3; y_3; z_3)$. Пусть точка $O(x; y; z)$ является точкой пересечения медиан этого треугольника.

Рассмотрим медиану $AM$, где $M$ — середина стороны $BC$. Координаты точки $M$ находятся как полусумма соответствующих координат точек $B$ и $C$:

$x_M = \frac{x_2 + x_3}{2}$, $y_M = \frac{y_2 + y_3}{2}$, $z_M = \frac{z_2 + z_3}{2}$.

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $M(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2}; \frac{z_2 + z_3}{2})$.

Известно, что точка пересечения медиан (центроид) делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, точка $O$ делит отрезок $AM$ так, что $AO : OM = 2 : 1$.

Для нахождения координат точки $O$, которая делит отрезок $AM$ в отношении $\lambda = 2$, воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении:

$x = \frac{x_A + \lambda \cdot x_M}{1 + \lambda} = \frac{x_1 + 2 \cdot \frac{x_2 + x_3}{2}}{1 + 2} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$y = \frac{y_A + \lambda \cdot y_M}{1 + \lambda} = \frac{y_1 + 2 \cdot \frac{y_2 + y_3}{2}}{1 + 2} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

$z = \frac{z_A + \lambda \cdot z_M}{1 + \lambda} = \frac{z_1 + 2 \cdot \frac{z_2 + z_3}{2}}{1 + 2} = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$

Таким образом, мы доказали, что координаты точки пересечения медиан треугольника определяются как среднее арифметическое соответствующих координат его вершин.

1)

Найдем координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами $A(3; 1; 0)$, $B(-1; 4; 4)$, $C(1; 1; -2)$. Обозначим эту точку как $O(x; y; z)$.

$x = \frac{3 + (-1) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y = \frac{1 + 4 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$z = \frac{0 + 4 + (-2)}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $(1; 2; \frac{2}{3})$.

2)

Найдем координаты точки пересечения медиан треугольника $ABC$ с вершинами $A(7; 9; 1)$, $B(-2; -3; 2)$, $C(1; 5; 5)$. Обозначим эту точку как $O(x; y; z)$.

$x = \frac{7 + (-2) + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$y = \frac{9 + (-3) + 5}{3} = \frac{11}{3}$

$z = \frac{1 + 2 + 5}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $(2; \frac{11}{3}; \frac{8}{3})$.