Номер 3.89, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.89. Для векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ верна формула $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$. Докажите эту формулу, пользуясь разложением векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по координатным векторам $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$.

Для доказательства формулы скалярного произведения векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ воспользуемся их разложением по координатным векторам $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

Разложение векторов в ортонормированном базисе $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ имеет вид:
$\vec{a} = x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}$
$\vec{b} = x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k}$

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения (правило раскрытия скобок):
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k}) \cdot (x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k})$
Раскрывая скобки, получаем сумму девяти слагаемых:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2(\vec{i} \cdot \vec{i}) + x_1y_2(\vec{i} \cdot \vec{j}) + x_1z_2(\vec{i} \cdot \vec{k}) + $
$+ y_1x_2(\vec{j} \cdot \vec{i}) + y_1y_2(\vec{j} \cdot \vec{j}) + y_1z_2(\vec{j} \cdot \vec{k}) + $
$+ z_1x_2(\vec{k} \cdot \vec{i}) + z_1y_2(\vec{k} \cdot \vec{j}) + z_1z_2(\vec{k} \cdot \vec{k})$

Координатные векторы $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ являются единичными ($|\vec{i}|=|\vec{j}|=|\vec{k}|=1$) и попарно ортогональными (перпендикулярными). Из определения скалярного произведения ($\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$) следуют значения их попарных произведений:

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (так как угол равен 0, $\cos(0)=1$):
$\vec{i} \cdot \vec{i} = |\vec{i}|^2 = 1^2 = 1$
$\vec{j} \cdot \vec{j} = |\vec{j}|^2 = 1^2 = 1$
$\vec{k} \cdot \vec{k} = |\vec{k}|^2 = 1^2 = 1$

Скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю (так как угол равен $90^\circ$, $\cos(90^\circ)=0$):
$\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{i} = 0$
$\vec{i} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{i} = 0$
$\vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{k} \cdot \vec{j} = 0$

Подставим эти значения в развернутое выражение для скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2(1) + x_1y_2(0) + x_1z_2(0) + y_1x_2(0) + y_1y_2(1) + y_1z_2(0) + z_1x_2(0) + z_1y_2(0) + z_1z_2(1)$

После отбрасывания слагаемых, равных нулю, получаем искомую формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство, основанное на разложении векторов по координатным ортам и свойствах скалярного произведения, приведено выше. Формула скалярного произведения векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$ в координатах имеет вид $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.