Номер 3.86, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.86. Вычислите значение выражения $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$, если из- вестно, что $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ и $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=a$.

По условию задачи нам дано, что сумма векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ равна нулевому вектору:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$

Также известно, что модули (длины) этих векторов равны между собой:

$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = a$

Наша цель — найти значение выражения $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$.

Для этого воспользуемся известным векторным равенством $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$. Возведем это равенство в скалярный квадрат. Скалярный квадрат вектора равен скалярному произведению вектора на самого себя. Скалярный квадрат нулевого вектора равен нулю.

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$

$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2 = 0$

Раскроем скобки в левой части, используя правила умножения многочленов и свойства скалярного произведения (коммутативность: $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$):

$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c} = 0$

Теперь воспользуемся свойством скалярного квадрата вектора, который равен квадрату его модуля: $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Сгруппируем подобные слагаемые:

$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$

Подставим в это уравнение известные из условия значения модулей $|\vec{a}| = a$, $|\vec{b}| = a$ и $|\vec{c}| = a$:

$a^2 + a^2 + a^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$

$3a^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$

Теперь выразим искомое выражение:

$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) = -3a^2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} = -\frac{3a^2}{2}$

Ответ: $-\frac{3a^2}{2}$.