Номер 3.83, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.83. Известно, что $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} - \vec{b})$. Покажите, что $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

По условию задачи векторы $(\vec{a} + \vec{b})$ и $(\vec{a} - \vec{b})$ перпендикулярны. Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю.

Запишем это условие в виде математического равенства: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов. Это аналогично формуле разности квадратов для действительных чисел $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

Скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Следовательно, слагаемые $-\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $+\vec{b} \cdot \vec{a}$ взаимно уничтожаются. Уравнение упрощается до: $\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его длины (модуля): $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Применяя это свойство, получаем: $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$

Из этого уравнения следует, что: $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$

Длина (модуль) вектора — это неотрицательная величина. Поэтому, если квадраты длин равны, то равны и сами длины. Извлекая квадратный корень из обеих частей равенства, получаем окончательный результат: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

Что и требовалось доказать.

Это утверждение имеет ясную геометрическую интерпретацию. Если от одной точки отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ и построить на них параллелограмм, то векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ будут соответствовать его диагоналям.

Условие $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} - \vec{b})$ означает, что диагонали параллелограмма перпендикулярны. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом. У ромба все стороны равны по длине. Так как стороны нашего параллелограмма образованы векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, их длины (модули) должны быть равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Ответ: Равенство $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ доказано.