Номер 3.78, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.78. Найдите длины диагоналей параллелограмма ABCD, если известно, что $\vec{AB} = 2\vec{a} - \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{b}$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$ и $(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) = 60^\circ$.

Векторы диагоналей параллелограмма $ABCD$ можно выразить через векторы его смежных сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Диагональ $\vec{AC}$ является их суммой, а диагональ $\vec{BD}$ — их разностью.

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Используя данные из условия задачи, подставим выражения для векторов сторон:
$\vec{AB} = 2\vec{a} - \vec{b}$
$\vec{AD} = \vec{a} + 3\vec{b}$

Нахождение длины диагонали AC

Найдем вектор диагонали $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = (2\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{a} + 3\vec{b}) = 3\vec{a} + 2\vec{b}$.

Длина вектора равна квадратному корню из его скалярного квадрата. Найдем скалярный квадрат вектора $\vec{AC}$:
$|\vec{AC}|^2 = (3\vec{a} + 2\vec{b})^2 = (3\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} + 2\vec{b})$
$= 9(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$.

Для дальнейших вычислений найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})$.
Из условия задачи имеем: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $(\widehat{\vec{a},\vec{b}}) = 60^\circ$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Теперь подставим все известные значения в выражение для квадрата длины диагонали $\vec{AC}$:
$|\vec{AC}|^2 = 9 \cdot 3^2 + 12 \cdot 3 + 4 \cdot 2^2 = 9 \cdot 9 + 36 + 4 \cdot 4 = 81 + 36 + 16 = 133$.
Следовательно, длина диагонали AC равна $|\vec{AC}| = \sqrt{133}$.

Нахождение длины диагонали BD

Найдем вектор диагонали $\vec{BD}$:
$\vec{BD} = (\vec{a} + 3\vec{b}) - (2\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} + 3\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + 4\vec{b}$.

Найдем скалярный квадрат вектора $\vec{BD}$:
$|\vec{BD}|^2 = (-\vec{a} + 4\vec{b})^2 = (-\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (-\vec{a} + 4\vec{b})$
$= (\vec{a} \cdot \vec{a}) - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16(\vec{b} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:
$|\vec{BD}|^2 = 3^2 - 8 \cdot 3 + 16 \cdot 2^2 = 9 - 24 + 16 \cdot 4 = 9 - 24 + 64 = 49$.
Следовательно, длина диагонали BD равна $|\vec{BD}| = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: длины диагоналей параллелограмма равны $7$ и $\sqrt{133}$.