Номер 3.71, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.71. По данным задачи 3.70 найдите:

1) $\cos(\angle BAC)$;

2) $\cos(\angle CAD)$;

3) $\cos(\angle ABC)$;

4) $\cos(\angle ADC)$.

Для решения этой задачи необходимо использовать данные из задачи 3.70. Как правило, в таких случаях имеется в виду четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 10$, $BC = 11$, $CD = 12$ и $AD = 9$. Чтобы задача имела единственное решение, необходимо предположить, что этот четырехугольник вписан в окружность. Это стандартное условие для подобных задач.

Свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$, и, следовательно, $\cos(\angle ADC) = \cos(180^\circ - \angle ABC) = -\cos(\angle ABC)$.

Для начала найдем длину диагонали $AC$, а также косинусы углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, в которых $AC$ является общей стороной. Применим теорему косинусов для каждого из них.
В $\triangle ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$
$AC^2 = 10^2 + 11^2 - 2 \cdot 10 \cdot 11 \cdot \cos(\angle ABC) = 221 - 220\cos(\angle ABC)$

В $\triangle ADC$:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC)$
$AC^2 = 9^2 + 12^2 - 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos(\angle ADC) = 225 - 216\cos(\angle ADC)$

Используя свойство $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ABC)$, подставим его во второе уравнение:
$AC^2 = 225 - 216(-\cos(\angle ABC)) = 225 + 216\cos(\angle ABC)$

Приравняем полученные выражения для $AC^2$:
$221 - 220\cos(\angle ABC) = 225 + 216\cos(\angle ABC)$
$436\cos(\angle ABC) = -4$
$\cos(\angle ABC) = -\frac{4}{436} = -\frac{1}{109}$

Отсюда $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ABC) = \frac{1}{109}$.
Теперь найдем квадрат длины диагонали $AC^2$:
$AC^2 = 221 - 220(-\frac{1}{109}) = 221 + \frac{220}{109} = \frac{221 \cdot 109 + 220}{109} = \frac{24089 + 220}{109} = \frac{24309}{109} = 223$
Следовательно, $AC = \sqrt{223}$.
Теперь у нас есть все данные для ответа на вопросы задачи.

1) cos(∠BAC)
Применим теорему косинусов к $\triangle ABC$ для нахождения $\cos(\angle BAC)$:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$
$11^2 = 10^2 + (\sqrt{223})^2 - 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{223} \cdot \cos(\angle BAC)$
$121 = 100 + 223 - 20\sqrt{223}\cos(\angle BAC)$
$121 = 323 - 20\sqrt{223}\cos(\angle BAC)$
$20\sqrt{223}\cos(\angle BAC) = 323 - 121 = 202$
$\cos(\angle BAC) = \frac{202}{20\sqrt{223}} = \frac{101}{10\sqrt{223}} = \frac{101\sqrt{223}}{10 \cdot 223} = \frac{101\sqrt{223}}{2230}$
Ответ: $\frac{101\sqrt{223}}{2230}$

2) cos(∠CAD)
Применим теорему косинусов к $\triangle ADC$ для нахождения $\cos(\angle CAD)$:
$CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2 \cdot AD \cdot AC \cdot \cos(\angle CAD)$
$12^2 = 9^2 + (\sqrt{223})^2 - 2 \cdot 9 \cdot \sqrt{223} \cdot \cos(\angle CAD)$
$144 = 81 + 223 - 18\sqrt{223}\cos(\angle CAD)$
$144 = 304 - 18\sqrt{223}\cos(\angle CAD)$
$18\sqrt{223}\cos(\angle CAD) = 304 - 144 = 160$
$\cos(\angle CAD) = \frac{160}{18\sqrt{223}} = \frac{80}{9\sqrt{223}} = \frac{80\sqrt{223}}{9 \cdot 223} = \frac{80\sqrt{223}}{2007}$
Ответ: $\frac{80\sqrt{223}}{2007}$

3) cos (∠ABC)
Это значение было найдено в ходе предварительных вычислений.
Ответ: $-\frac{1}{109}$

4) cos(∠ADC)
Это значение было найдено из свойства вписанного четырехугольника: $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ABC)$.
Ответ: $\frac{1}{109}$