Номер 3.73, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.73. Даны точки A(2; 3; -2), B(4; -5; 6). Определите координаты точки С, делящей отрезок AB в отношении:

1) $\lambda = 1$;

2) $\lambda = \frac{2}{3}$;

3) $\lambda = 2$;

4) $\lambda = \frac{1}{2}$.

Для нахождения координат точки $C(x_C; y_C; z_C)$, которая делит отрезок с концами в точках $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$ в отношении $\lambda = AC/CB$, используются следующие формулы:

$x_C = \frac{x_A + \lambda x_B}{1 + \lambda}$

$y_C = \frac{y_A + \lambda y_B}{1 + \lambda}$

$z_C = \frac{z_A + \lambda z_B}{1 + \lambda}$

Исходные данные: точка $A(2; 3; -2)$ и точка $B(4; -5; 6)$.

1) $\lambda = 1$

Поскольку $\lambda = 1$, точка C является серединой отрезка AB. Подставим координаты точек A и B и значение $\lambda$ в формулы:

$x_C = \frac{2 + 1 \cdot 4}{1 + 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_C = \frac{3 + 1 \cdot (-5)}{1 + 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_C = \frac{-2 + 1 \cdot 6}{1 + 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Координаты точки C: (3; -1; 2).

Ответ: C(3; -1; 2).

2) $\lambda = \frac{2}{3}$

Подставим известные значения в формулы:

$x_C = \frac{2 + \frac{2}{3} \cdot 4}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{2 + \frac{8}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{6+8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{14}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{14}{5}$

$y_C = \frac{3 + \frac{2}{3} \cdot (-5)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3 - \frac{10}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{9-10}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{-1}{3} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{1}{5}$

$z_C = \frac{-2 + \frac{2}{3} \cdot 6}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-2 + 4}{\frac{5}{3}} = \frac{2}{\frac{5}{3}} = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$

Координаты точки C: ($\frac{14}{5}$; $-\frac{1}{5}$; $\frac{6}{5}$).

Ответ: C($\frac{14}{5}$; $-\frac{1}{5}$; $\frac{6}{5}$).

3) $\lambda = 2$

Подставим известные значения в формулы:

$x_C = \frac{2 + 2 \cdot 4}{1 + 2} = \frac{2 + 8}{3} = \frac{10}{3}$

$y_C = \frac{3 + 2 \cdot (-5)}{1 + 2} = \frac{3 - 10}{3} = -\frac{7}{3}$

$z_C = \frac{-2 + 2 \cdot 6}{1 + 2} = \frac{-2 + 12}{3} = \frac{10}{3}$

Координаты точки C: ($\frac{10}{3}$; $-\frac{7}{3}$; $\frac{10}{3}$).

Ответ: C($\frac{10}{3}$; $-\frac{7}{3}$; $\frac{10}{3}$).

4) $\lambda = \frac{1}{2}$

Подставим известные значения в формулы:

$x_C = \frac{2 + \frac{1}{2} \cdot 4}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2 + 2}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

$y_C = \frac{3 + \frac{1}{2} \cdot (-5)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{3 - \frac{5}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{6-5}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$z_C = \frac{-2 + \frac{1}{2} \cdot 6}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-2 + 3}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Координаты точки C: ($\frac{8}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$).

Ответ: C($\frac{8}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$).