Номер 3.74, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.74. Найдите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vec{a} = (\sqrt{2}; 2; -\sqrt{2} )$, $\vec{b} = (-3; 0; 3)$;

2) $\vec{a} = (0; -5; 0)$, $\vec{b} = (0; -\sqrt{3} ; -1)$.

1) Чтобы найти угол $\alpha$ между векторами $\vec{a} = (\sqrt{2}; 2; -\sqrt{2})$ и $\vec{b} = (-3; 0; 3)$, воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами, который равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (модулей):

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Для векторов с координатами $\vec{a} = (x_a; y_a; z_a)$ и $\vec{b} = (x_b; y_b; z_b)$ оно вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{2} \cdot (-3) + 2 \cdot 0 + (-\sqrt{2}) \cdot 3 = -3\sqrt{2} + 0 - 3\sqrt{2} = -6\sqrt{2}$

Теперь найдем длины векторов. Длина вектора $\vec{v} = (x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|\vec{a}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 4 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{-6\sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-6\sqrt{2}}{6 \cdot (\sqrt{2})^2} = \frac{-6\sqrt{2}}{6 \cdot 2} = \frac{-6\sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол $\alpha$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, равен $135^\circ$ (или $\frac{3\pi}{4}$ радиан).

Ответ: $135^\circ$.

2) Найдем угол $\alpha$ между векторами $\vec{a} = (0; -5; 0)$ и $\vec{b} = (0; -\sqrt{3}; -1)$, используя ту же формулу.

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 0 + (-5) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot (-1) = 0 + 5\sqrt{3} + 0 = 5\sqrt{3}$

Вычислим длины векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-5)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$

$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{5\sqrt{3}}{5 \cdot 2} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\alpha$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, равен $30^\circ$ (или $\frac{\pi}{6}$ радиан).

Ответ: $30^\circ$.