Номер 3.67, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.67. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=\varphi$, если:

1) $\vert \vec{a} \vert = 3, \vert \vec{b} \vert = \sqrt{2}, \varphi = 45^{\circ};$

2) $\vert \vec{a} \vert = 0,5, \vert \vec{b} \vert = 16, \varphi = 60^{\circ};$

3) $\vert \vec{a} \vert = \sqrt{3}, \vert \vec{b} \vert = 3, \varphi = 30^{\circ};$

4) $\vert \vec{a} \vert = 4, \vert \vec{b} \vert = 3, \varphi = 120^{\circ}.$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi$
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — модули (длины) векторов, а $\varphi$ — угол между ними.

1) Дано: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = \sqrt{2}$, $\varphi = 45^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$
Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 3 \cdot \frac{2}{2} = 3$.
Ответ: 3.

2) Дано: $|\vec{a}| = 0,5$, $|\vec{b}| = 16$, $\varphi = 60^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0,5 \cdot 16 \cdot \cos(60^\circ)$
Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0,5 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
Ответ: 4.

3) Дано: $|\vec{a}| = \sqrt{3}$, $|\vec{b}| = 3$, $\varphi = 30^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} \cdot 3 \cdot \cos(30^\circ)$
Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = 3 \cdot \frac{3}{2} = 4,5$.
Ответ: 4,5.

4) Дано: $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 3$, $\varphi = 120^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ)$
Так как $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 12 \cdot (-\frac{1}{2}) = -6$.
Ответ: -6.