Номер 3.68, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.68. Даны векторы $\vec{a} = (2; -1; 0)$, $\vec{b} = (1; \sqrt{2}; -5)$, $\vec{c} = (1; 2; 5)$, $\vec{d} = (1; 0; 2)$. Вычислите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

2) $\vec{a} \cdot \vec{c}$

3) $\sqrt{\vec{b}^2}$

4) $(\vec{a} - \vec{b})(\vec{a} + \vec{c})$

5) $(\vec{a} - \vec{d})^2$

6) $\vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{a}$

7) $(\vec{a} + \vec{d})(\vec{b} - \vec{c})$

8) $(\vec{a} + \vec{b})(\vec{c} - \vec{d})$

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$
Скалярное произведение векторов вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат. Для векторов $\vec{a}=(2; -1; 0)$ и $\vec{b}=(1; \sqrt{2}; -5)$ имеем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot (-5) = 2 - \sqrt{2} + 0 = 2 - \sqrt{2}$.
Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

2) $\vec{a} \cdot \vec{c}$
Аналогично, для векторов $\vec{a}=(2; -1; 0)$ и $\vec{c}=(1; 2; 5)$:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 0 \cdot 5 = 2 - 2 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

3) $\sqrt{\vec{b}^2}$
Выражение $\sqrt{\vec{b}^2}$ равно длине (модулю) вектора $\vec{b}$, то есть $|\vec{b}|$. Длина вектора вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Сначала найдем скалярный квадрат $\vec{b}^2 = \vec{b} \cdot \vec{b}$.
$\vec{b}^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 + (-5)^2 = 1 + 2 + 25 = 28$.
Тогда $\sqrt{\vec{b}^2} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Ответ: $2\sqrt{7}$.

4) $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}+\vec{c})$
Сначала найдем координаты векторов $(\vec{a}-\vec{b})$ и $(\vec{a}+\vec{c})$.
$\vec{a} - \vec{b} = (2-1; -1-\sqrt{2}; 0-(-5)) = (1; -1-\sqrt{2}; 5)$.
$\vec{a} + \vec{c} = (2+1; -1+2; 0+5) = (3; 1; 5)$.
Теперь вычислим их скалярное произведение:
$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{c}) = 1 \cdot 3 + (-1-\sqrt{2}) \cdot 1 + 5 \cdot 5 = 3 - 1 - \sqrt{2} + 25 = 27 - \sqrt{2}$.
Ответ: $27 - \sqrt{2}$.

5) $(\vec{a}-\vec{d})^2$
Сначала найдем вектор $(\vec{a}-\vec{d})$.
$\vec{a} - \vec{d} = (2-1; -1-0; 0-2) = (1; -1; -2)$.
Скалярный квадрат вектора $(\vec{a}-\vec{d})^2$ равен сумме квадратов его координат:
$(\vec{a}-\vec{d})^2 = 1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
Ответ: $6$.

6) $\vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{a}$
Вычислим каждое скалярное произведение отдельно. Учтем, что скалярное произведение коммутативно, т.е. $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$, и это значение было найдено в пункте 1: $2 - \sqrt{2}$.
Вычислим $\vec{c} \cdot \vec{d}$:
$\vec{c} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 1 + 0 + 10 = 11$.
Сложим результаты:
$\vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 11 + (2 - \sqrt{2}) = 13 - \sqrt{2}$.
Ответ: $13 - \sqrt{2}$.

7) $(\vec{a}+\vec{d})(\vec{b}-\vec{c})$
Сначала найдем координаты векторов $(\vec{a}+\vec{d})$ и $(\vec{b}-\vec{c})$.
$\vec{a} + \vec{d} = (2+1; -1+0; 0+2) = (3; -1; 2)$.
$\vec{b} - \vec{c} = (1-1; \sqrt{2}-2; -5-5) = (0; \sqrt{2}-2; -10)$.
Теперь вычислим их скалярное произведение:
$(\vec{a}+\vec{d}) \cdot (\vec{b}-\vec{c}) = 3 \cdot 0 + (-1) \cdot (\sqrt{2}-2) + 2 \cdot (-10) = 0 - \sqrt{2} + 2 - 20 = -18 - \sqrt{2}$.
Ответ: $-18 - \sqrt{2}$.

8) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{c}-\vec{d})$
Сначала найдем координаты векторов $(\vec{a}+\vec{b})$ и $(\vec{c}-\vec{d})$.
$\vec{a} + \vec{b} = (2+1; -1+\sqrt{2}; 0+(-5)) = (3; \sqrt{2}-1; -5)$.
$\vec{c} - \vec{d} = (1-1; 2-0; 5-2) = (0; 2; 3)$.
Теперь вычислим их скалярное произведение:
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{c}-\vec{d}) = 3 \cdot 0 + (\sqrt{2}-1) \cdot 2 + (-5) \cdot 3 = 0 + 2\sqrt{2} - 2 - 15 = 2\sqrt{2} - 17$.
Ответ: $2\sqrt{2} - 17$.