Номер 3.75, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.75. Даны точки A(0; 2; -1), B(1; 0; 1) и C(-1; 4; 3). В треугольнике ABC найдите:

1) длину медианы $AA_1$;

2) $\cos\angle C$.

1) длину медианы AA₁

Медиана AA₁ соединяет вершину A с серединой стороны BC. Для нахождения ее длины сначала определим координаты точки A₁, которая является серединой отрезка BC с концами в точках B(1; 0; 1) и C(-1; 4; 3).

Координаты середины отрезка ($x_{A_1}$, $y_{A_1}$, $z_{A_1}$) вычисляются по формулам:

$x_{A_1} = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_{A_1} = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$z_{A_1} = \frac{z_B + z_C}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, точка A₁ имеет координаты (0; 2; 2).

Теперь найдем длину медианы AA₁, которая равна расстоянию между точками A(0; 2; -1) и A₁(0; 2; 2). Расстояние между двумя точками в пространстве вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Подставляем координаты точек A и A₁:

$|AA_1| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 2)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (2+1)^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3.

2) cos∠C

Угол C в треугольнике ABC является углом между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$. Косинус этого угла можно найти, используя скалярное произведение векторов по формуле:

$\cos\angle C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|}$

Сначала найдем координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, исходя из координат точек A(0; 2; -1), B(1; 0; 1) и C(-1; 4; 3).

Координаты вектора, идущего из точки $P_1(x_1, y_1, z_1)$ в точку $P_2(x_2, y_2, z_2)$, равны $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C; z_A - z_C) = (0 - (-1); 2 - 4; -1 - 3) = (1; -2; -4)$

$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C; z_B - z_C) = (1 - (-1); 0 - 4; 1 - 3) = (2; -4; -2)$

Далее вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + (-4) \cdot (-2) = 2 + 8 + 8 = 18$

Теперь найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{CA}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$

$|\vec{CB}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos\angle C = \frac{18}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{18}{\sqrt{21} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{9}{\sqrt{21 \cdot 6}} = \frac{9}{\sqrt{126}}$

Упростим полученное выражение. Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$.

$\cos\angle C = \frac{9}{3\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{14}$:

$\cos\angle C = \frac{3 \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{14}}{14}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{14}}{14}$.