Номер 3.76, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.76. Дан треугольник ABC, где A(2; 1; 3), B(2; 1; 4), C(0; 4; 3). Найдите:

1) $\angle B$;

2) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$;

3) длину медианы $AA_1$.

1) ∠B

Угол $B$ треугольника $ABC$ является углом между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Для его нахождения воспользуемся формулой косинуса угла между векторами, который равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (модулей):

$\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}$

Сначала найдем координаты векторов, вычитая из координат точки конца координаты точки начала:

$\vec{BA} = (2-2; 1-1; 3-4) = (0; 0; -1)$

$\vec{BC} = (0-2; 4-1; 3-4) = (-2; 3; -1)$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 + (-1) \cdot (-1) = 1$

Далее найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

Подставим все найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos(\angle B) = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$

Таким образом, угол $B$ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)$.

2) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

Для вычисления скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, сперва найдем их координаты.

$\vec{AB} = (2-2; 1-1; 4-3) = (0; 0; 1)$

$\vec{AC} = (0-2; 4-1; 3-3) = (-2; 3; 0)$

Скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих координат:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 0 + 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

3) длину медианы AA₁

Медиана $AA_1$ соединяет вершину $A$ с точкой $A_1$, которая является серединой стороны $BC$. Сначала найдем координаты точки $A_1$, которые равны полусумме соответствующих координат точек $B$ и $C$.

$A_1 = \left(\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}; \frac{z_B + z_C}{2}\right) = \left(\frac{2+0}{2}; \frac{1+4}{2}; \frac{4+3}{2}\right) = \left(1; \frac{5}{2}; \frac{7}{2}\right)$.

Длина медианы $AA_1$ равна длине (модулю) вектора $\vec{AA_1}$. Найдем координаты этого вектора:

$\vec{AA_1} = \left(1-2; \frac{5}{2}-1; \frac{7}{2}-3\right) = \left(-1; \frac{3}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

Теперь вычислим длину вектора $\vec{AA_1}$:

$|\vec{AA_1}| = \sqrt{(-1)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{10}{4}} = \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{\sqrt{14}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{2}$.