Номер 3.63, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.63. Даны точки $A(1; -2; 3)$, $B(2; 0; -2)$, $C(0; k; 4)$. При каких значениях $k$ треугольник $ABC$ является равнобедренным?

Для того чтобы треугольник ABC был равнобедренным, необходимо, чтобы длины как минимум двух его сторон были равны. Это условие эквивалентно равенству квадратов длин этих сторон. Найдем квадраты длин сторон треугольника, используя формулу для квадрата расстояния между точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

Даны координаты вершин: A(1; -2; 3), B(2; 0; -2), C(0; k; 4).

Вычислим квадраты длин каждой стороны:

1. Квадрат длины стороны AB:

$|AB|^2 = (2 - 1)^2 + (0 - (-2))^2 + (-2 - 3)^2 = 1^2 + 2^2 + (-5)^2 = 1 + 4 + 25 = 30$.

2. Квадрат длины стороны BC:

$|BC|^2 = (0 - 2)^2 + (k - 0)^2 + (4 - (-2))^2 = (-2)^2 + k^2 + 6^2 = 4 + k^2 + 36 = k^2 + 40$.

3. Квадрат длины стороны AC:

$|AC|^2 = (0 - 1)^2 + (k - (-2))^2 + (4 - 3)^2 = (-1)^2 + (k + 2)^2 + 1^2 = 1 + (k^2 + 4k + 4) + 1 = k^2 + 4k + 6$.

Рассмотрим три возможных случая равенства сторон, чтобы треугольник был равнобедренным:

Случай 1: $|AB| = |BC|$ (или $|AB|^2 = |BC|^2$)

Приравниваем квадраты длин:

$30 = k^2 + 40$

$k^2 = 30 - 40$

$k^2 = -10$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Случай 2: $|AB| = |AC|$ (или $|AB|^2 = |AC|^2$)

Приравниваем квадраты длин:

$30 = k^2 + 4k + 6$

$k^2 + 4k + 6 - 30 = 0$

$k^2 + 4k - 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 16 + 96 = 112$.

Корни уравнения:

$k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 7}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{7}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{7}$.

Получаем два значения для k: $k_1 = -2 + 2\sqrt{7}$ и $k_2 = -2 - 2\sqrt{7}$.

Случай 3: $|BC| = |AC|$ (или $|BC|^2 = |AC|^2$)

Приравниваем квадраты длин:

$k^2 + 40 = k^2 + 4k + 6$

$40 = 4k + 6$

$4k = 40 - 6$

$4k = 34$

$k = \frac{34}{4} = \frac{17}{2} = 8.5$.

Таким образом, мы нашли три значения k, при которых треугольник ABC является равнобедренным.

Ответ: $k=8.5$; $k=-2+2\sqrt{7}$; $k=-2-2\sqrt{7}$.