Номер 3.90, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.90. Даны точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$. Точками $C_1, C_2, \ldots, C_{n-1}$ отрезок $AB$ разделен на $n$ равных частей. Выразите координаты точки $C_k$ $(1 \le k \le n-1)$ через координаты точек $A, B$ и числа $k, n$.

Пусть даны точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$. Отрезок $AB$ разделен на $n$ равных частей точками $C_1, C_2, \dots, C_{n-1}$. Необходимо найти координаты произвольной точки $C_k$ при $1 \le k \le n-1$.

Точка $C_k$ делит отрезок $AB$ в определенном отношении. Поскольку весь отрезок $AB$ состоит из $n$ равных частей, а точка $C_k$ является концом $k$-ой части, считая от точки $A$, то она делит отрезок $AB$ на два отрезка: $AC_k$ и $C_kB$. Длина отрезка $AC_k$ составляет $k$ частей, а длина отрезка $C_kB$ составляет оставшиеся $n-k$ частей. Таким образом, точка $C_k$ делит отрезок $AB$ в отношении $|AC_k|:|C_kB| = k : (n-k)$.

Координаты точки, делящей отрезок с концами в точках $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ в отношении $\lambda : \mu$, вычисляются по формулам деления отрезка в данном отношении:

$x = \frac{\mu x_1 + \lambda x_2}{\lambda + \mu}$, $y = \frac{\mu y_1 + \lambda y_2}{\lambda + \mu}$, $z = \frac{\mu z_1 + \lambda z_2}{\lambda + \mu}$

В нашем случае отношение $\lambda : \mu = k : (n-k)$, следовательно, $\lambda = k$ и $\mu = n-k$. Сумма $\lambda + \mu = k + (n-k) = n$. Подставим эти значения в формулы для нахождения координат $x_k, y_k, z_k$ точки $C_k$.

Координата $x_k$ точки $C_k$ равна:$x_k = \frac{(n-k)x_1 + kx_2}{k + (n-k)} = \frac{(n-k)x_1 + kx_2}{n}$

Координата $y_k$ точки $C_k$ равна:$y_k = \frac{(n-k)y_1 + ky_2}{k + (n-k)} = \frac{(n-k)y_1 + ky_2}{n}$

Координата $z_k$ точки $C_k$ равна:$z_k = \frac{(n-k)z_1 + kz_2}{k + (n-k)} = \frac{(n-k)z_1 + kz_2}{n}$

Ответ: Координаты точки $C_k(x_k; y_k; z_k)$ выражаются через координаты точек $A(x_1; y_1; z_1)$, $B(x_2; y_2; z_2)$ и числа $k, n$ следующими формулами:
$x_k = \frac{(n-k)x_1 + kx_2}{n}$
$y_k = \frac{(n-k)y_1 + ky_2}{n}$
$z_k = \frac{(n-k)z_1 + kz_2}{n}$