Номер 3.94, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.94. Найдите координаты нескольких точек, принадлежащих и не принадлежащих данной плоскости:

1) $2x - 3y + z - 2 = 0;$

2) $x - z + 5 = 0;$

3) $2y - 3z + 5 = 0;$

4) $x + 7 = 0.$

1) Уравнение плоскости: $2x - 3y + z - 2 = 0$.
Точка с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ принадлежит плоскости, если при подстановке ее координат в уравнение плоскости получается верное равенство $2x_0 - 3y_0 + z_0 - 2 = 0$.

Найдем несколько точек, принадлежащих плоскости.
Для этого выберем произвольные значения для двух координат и вычислим третью.

• Пусть $x=0$ и $y=0$. Подставим в уравнение: $2(0) - 3(0) + z - 2 = 0$, откуда $z = 2$. Получаем точку $A(0, 0, 2)$.
• Пусть $x=1$ и $y=0$. Подставим в уравнение: $2(1) - 3(0) + z - 2 = 0$, откуда $2 + z - 2 = 0$ и $z = 0$. Получаем точку $B(1, 0, 0)$.

• Проверим точку $O(0, 0, 0)$: $2(0) - 3(0) + 0 - 2 = -2 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.
• Проверим точку $C(1, 1, 1)$: $2(1) - 3(1) + 1 - 2 = 2 - 3 + 1 - 2 = -2 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.

2) Уравнение плоскости: $x - z + 5 = 0$.
Это уравнение можно переписать как $z = x + 5$. Координата $y$ может быть любой, так как она не входит в уравнение. Это означает, что плоскость параллельна оси $Oy$.

Найдем несколько точек, принадлежащих плоскости.

• Пусть $x=0$. Тогда $z = 0 + 5 = 5$. Координату $y$ выберем произвольно, например $y=0$. Получаем точку $A(0, 0, 5)$.
• Пусть $x=-5$. Тогда $z = -5 + 5 = 0$. Координату $y$ выберем произвольно, например $y=10$. Получаем точку $B(-5, 10, 0)$.

• Проверим точку $O(0, 0, 0)$: $0 - 0 + 5 = 5 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.
• Проверим точку $C(1, 2, 3)$: $1 - 3 + 5 = 3 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.

3) Уравнение плоскости: $2y - 3z + 5 = 0$.
Координата $x$ не входит в уравнение, значит, она может быть любой, а плоскость параллельна оси $Ox$.

Найдем несколько точек, принадлежащих плоскости.
Выразим одну координату через другую, например, $3z = 2y + 5$ или $z = \frac{2y+5}{3}$.

• Пусть $y=2$. Тогда $z = \frac{2(2)+5}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Координату $x$ выберем произвольно, например $x=0$. Получаем точку $A(0, 2, 3)$.
• Пусть $y=5$. Тогда $z = \frac{2(5)+5}{3} = \frac{15}{3} = 5$. Координату $x$ выберем произвольно, например $x=-1$. Получаем точку $B(-1, 5, 5)$.

• Проверим точку $O(0, 0, 0)$: $2(0) - 3(0) + 5 = 5 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.
• Проверим точку $C(1, 1, 1)$: $2(1) - 3(1) + 5 = 2 - 3 + 5 = 4 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.

4) Уравнение плоскости: $x + 7 = 0$.
Это уравнение можно переписать как $x = -7$. Координаты $y$ и $z$ не входят в уравнение, значит, они могут быть любыми. Эта плоскость параллельна координатной плоскости $Oyz$.

Найдем несколько точек, принадлежащих плоскости.
Любая точка, у которой первая координата равна -7, будет принадлежать этой плоскости.

• Точка $A(-7, 0, 0)$.
• Точка $B(-7, 5, -3)$.

• Проверим точку $O(0, 0, 0)$: $0 + 7 = 7 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.
• Проверим точку $C(1, 1, 1)$: $1 + 7 = 8 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.