Номер 3.101, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.101. Напишите уравнения плоскостей, проходящих через точку $M(2; -3; 4)$ перпендикулярно каждой координатной оси.

Для нахождения уравнений плоскостей воспользуемся общим уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку $M(x_0; y_0; z_0)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n} = (A; B; C)$: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

По условию задачи, все плоскости проходят через точку $M(2; -3; 4)$, следовательно, $x_0=2$, $y_0=-3$, $z_0=4$.

Плоскость, перпендикулярная оси Ox

Плоскость, перпендикулярная координатной оси Ox, имеет нормальный вектор, который коллинеарен (параллелен) направляющему вектору оси Ox. Направляющий вектор оси Ox - это базисный вектор $\vec{i} = (1; 0; 0)$. Возьмем его в качестве нормального вектора плоскости: $\vec{n}_1 = (1; 0; 0)$. В этом случае коэффициенты в уравнении плоскости равны $A=1$, $B=0$, $C=0$.

Подставим координаты точки $M$ и вектора $\vec{n}_1$ в общее уравнение плоскости: $1 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - (-3)) + 0 \cdot (z - 4) = 0$

Упростив выражение, получаем уравнение искомой плоскости: $x - 2 = 0$

Ответ: $x = 2$

Плоскость, перпендикулярная оси Oy

Плоскость, перпендикулярная координатной оси Oy, имеет нормальный вектор, коллинеарный направляющему вектору оси Oy, то есть вектору $\vec{j} = (0; 1; 0)$. Примем его за нормальный вектор плоскости: $\vec{n}_2 = (0; 1; 0)$. В этом случае коэффициенты равны $A=0$, $B=1$, $C=0$.

Подставим координаты точки $M$ и вектора $\vec{n}_2$ в общее уравнение плоскости: $0 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - (-3)) + 0 \cdot (z - 4) = 0$

Упростив выражение, получаем: $y + 3 = 0$

Ответ: $y = -3$

Плоскость, перпендикулярная оси Oz

Плоскость, перпендикулярная координатной оси Oz, имеет нормальный вектор, коллинеарный направляющему вектору оси Oz, то есть вектору $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Примем его за нормальный вектор плоскости: $\vec{n}_3 = (0; 0; 1)$. В этом случае коэффициенты равны $A=0$, $B=0$, $C=1$.

Подставим координаты точки $M$ и вектора $\vec{n}_3$ в общее уравнение плоскости: $0 \cdot (x - 2) + 0 \cdot (y - (-3)) + 1 \cdot (z - 4) = 0$

Упростив выражение, получаем: $z - 4 = 0$

Ответ: $z = 4$