Номер 3.103, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.103. Для данных плоскостей напишите их уравнения в отрезках и постройте эти плоскости:

1) $2x + y + z - 4 = 0;$

2) $3x - 2y - z - 6 = 0.$

1) 2x + y + z - 4 = 0;

Для того чтобы написать уравнение плоскости в отрезках, необходимо привести общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ к виду $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, где $a, b, c$ — величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно.

Исходное уравнение: $2x + y + z - 4 = 0$.

Перенесем свободный член (-4) в правую часть уравнения:$2x + y + z = 4$.

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы в правой части получить 1:$\frac{2x}{4} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$.

Упростим коэффициенты при переменных:$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$.

Это и есть уравнение плоскости в отрезках. Отсюда видно, что плоскость пересекает оси координат в следующих точках:

• Ось $Ox$ в точке $A(2, 0, 0)$ (так как $a = 2$).
• Ось $Oy$ в точке $B(0, 4, 0)$ (так как $b = 4$).
• Ось $Oz$ в точке $C(0, 0, 4)$ (так как $c = 4$).

Для построения плоскости достаточно нанести эти три точки на координатные оси и соединить их прямыми линиями, образуя треугольник, который является частью искомой плоскости.

Построение плоскости:

Ответ: Уравнение в отрезках: $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1$. Плоскость построена на рисунке выше.

2) 3x - 2y - z - 6 = 0;

Аналогично первому пункту, приведем общее уравнение плоскости к уравнению в отрезках.

Исходное уравнение: $3x - 2y - z - 6 = 0$.

Перенесем свободный член (-6) в правую часть:$3x - 2y - z = 6$.

Разделим обе части уравнения на 6:$\frac{3x}{6} - \frac{2y}{6} - \frac{z}{6} = 1$.

Упростим дроби и приведем к стандартному виду:$\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{-6} = 1$.

Это уравнение плоскости в отрезках. Плоскость пересекает оси координат в следующих точках:

• Ось $Ox$ в точке $A(2, 0, 0)$ (так как $a = 2$).
• Ось $Oy$ в точке $B(0, -3, 0)$ (так как $b = -3$).
• Ось $Oz$ в точке $C(0, 0, -6)$ (так как $c = -6$).

Построим плоскость, соединив эти три точки. Обратите внимание, что пересечения с осями $Oy$ и $Oz$ происходят на их отрицательных частях.

Построение плоскости:

Ответ: Уравнение в отрезках: $\frac{x}{2} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{-6} = 1$. Плоскость построена на рисунке выше.