Номер 3.106, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.106. Покажите, что данным уравнением определяется сфера, и найдите ее центр и радиус:

1) $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 8z + 5 = 0;$

2) $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 8y + 2z + 10 = 0;$

3) $x^2 + y^2 + z^2 + 12x - 6y - 19 = 0;$

4) $x^2 + y^2 + z^2 = 2az.$

Общий вид уравнения сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$. Чтобы показать, что данные уравнения определяют сферу, необходимо привести их к этому виду методом выделения полных квадратов.

1) $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 8z + 5 = 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным:

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + (z^2 + 8z) + 5 = 0$

Выделим полные квадраты для каждой переменной. Для этого добавим и вычтем квадраты половины коэффициентов при линейных членах:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + (z^2 + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 5 = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 + (z + 4)^2 - 16 + 5 = 0$

Соберем постоянные члены и перенесем их в правую часть:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 4)^2 = 1 + 4 + 16 - 5$

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 4)^2 = 16$

Это уравнение сферы, так как оно приведено к каноническому виду. Центр сферы — точка $C(1, -2, -4)$, а радиус $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Уравнение определяет сферу с центром в точке C(1, -2, -4) и радиусом R = 4.

2) $x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 8y + 2z + 10 = 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) + (z^2 + 2z) + 10 = 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + (z^2 + 2 \cdot z \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 10 = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 + (z + 1)^2 - 1 + 10 = 0$

Перенесем константы вправо:

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z + 1)^2 = 9 + 16 + 1 - 10$

$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 + (z + 1)^2 = 16$

Это уравнение сферы с центром в точке $C(3, -4, -1)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: Уравнение определяет сферу с центром в точке C(3, -4, -1) и радиусом R = 4.

3) $x^2 + y^2 + z^2 + 12x - 6y - 19 = 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным (слагаемое с $z$ уже является полным квадратом):

$(x^2 + 12x) + (y^2 - 6y) + z^2 - 19 = 0$

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - 6^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + z^2 - 19 = 0$

$(x + 6)^2 - 36 + (y - 3)^2 - 9 + z^2 - 19 = 0$

Перенесем константы вправо:

$(x + 6)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 36 + 9 + 19$

$(x + 6)^2 + (y - 3)^2 + (z - 0)^2 = 64$

Это уравнение сферы с центром в точке $C(-6, 3, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: Уравнение определяет сферу с центром в точке C(-6, 3, 0) и радиусом R = 8.

4) $x^2 + y^2 + z^2 = 2az$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$x^2 + y^2 + z^2 - 2az = 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным. Для $x$ и $y$ полные квадраты уже есть.

$x^2 + y^2 + (z^2 - 2az) = 0$

Выделим полный квадрат для $z$:

$x^2 + y^2 + (z^2 - 2 \cdot z \cdot a + a^2) - a^2 = 0$

$x^2 + y^2 + (z - a)^2 = a^2$

Приведем к каноническому виду:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - a)^2 = a^2$

Это уравнение сферы. Если $a=0$, то уравнение $x^2+y^2+z^2=0$ определяет точку (сферу нулевого радиуса) в начале координат. Если $a \ne 0$, то это уравнение сферы с центром в точке $C(0, 0, a)$ и радиусом $R = \sqrt{a^2} = |a|$.

Ответ: Уравнение определяет сферу с центром в точке C(0, 0, a) и радиусом R = |a|.