Номер 3.111, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.111. Плоскость, проходящая через центр $C$ сферы $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y = 0$ перпендикулярно вектору $\vec{OC}$, делит соответствующий шар на две части. Задайте каждую из частей системой неравенств и постройте их.

Для решения задачи сначала найдем каноническое уравнение сферы, чтобы определить ее центр и радиус. Затем составим уравнение плоскости, проходящей через центр сферы перпендикулярно вектору $\vec{OC}$. Наконец, зададим две части шара, на которые его делит эта плоскость, системами неравенств и построим их проекцию на плоскость $Oxy$.

1. Определение центра и радиуса сферы

Исходное уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y = 0$.

Для нахождения центра $C$ и радиуса $R$ приведем уравнение к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, выделив полные квадраты:

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) + z^2 = 0$

$(x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + 3^2) - 3^2 + (y^2 - 2 \cdot 4 \cdot y + 4^2) - 4^2 + z^2 = 0$

$(x-3)^2 - 9 + (y-4)^2 - 16 + z^2 = 0$

$(x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 25$

$(x-3)^2 + (y-4)^2 + (z-0)^2 = 5^2$

Отсюда следует, что центр сферы $C$ имеет координаты $(3, 4, 0)$, а радиус $R = 5$.

Шар, ограниченный данной сферой, задается неравенством: $(x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 \le 25$.

2. Уравнение плоскости

Плоскость проходит через центр сферы $C(3, 4, 0)$ и перпендикулярна вектору $\vec{OC}$, где $O(0, 0, 0)$ — начало координат.

Координаты вектора $\vec{OC}$ равны координатам точки $C$: $\vec{OC} = (3, 4, 0)$.

Так как плоскость перпендикулярна вектору $\vec{OC}$, этот вектор является ее вектором нормали $\vec{n} = (A, B, C) = (3, 4, 0)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $(A, B, C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Подставляя координаты точки $C(3, 4, 0)$ и вектора нормали $\vec{n}=(3, 4, 0)$, получаем:

$3(x-3) + 4(y-4) + 0(z-0) = 0$

$3x - 9 + 4y - 16 = 0$

$3x + 4y - 25 = 0$

Это и есть уравнение искомой плоскости.

3. Системы неравенств для частей шара

Плоскость $3x + 4y - 25 = 0$ делит все пространство на два полупространства, задаваемых неравенствами $3x + 4y - 25 \ge 0$ и $3x + 4y - 25 \le 0$. Соответственно, шар делится на две части, каждая из которых является пересечением шара с одним из полупространств.

Первая часть шара

Эта часть задается системой неравенств:

$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 \le 25 \\ 3x + 4y - 25 \ge 0 \end{cases} $

или в исходных переменных:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y \le 0 \\ 3x + 4y - 25 \ge 0 \end{cases} $

Ответ:

$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 \le 25 \\ 3x + 4y - 25 \ge 0 \end{cases} $

Вторая часть шара

Эта часть задается системой неравенств:

$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 \le 25 \\ 3x + 4y - 25 \le 0 \end{cases} $

или в исходных переменных:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y \le 0 \\ 3x + 4y - 25 \le 0 \end{cases} $

Ответ:

$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 \le 25 \\ 3x + 4y - 25 \le 0 \end{cases} $

Построение

Поскольку центр сферы $C(3, 4, 0)$ и вектор нормали плоскости $\vec{OC}=(3, 4, 0)$ лежат в плоскости $z=0$, для наглядности построим проекцию шара и плоскости на плоскость $Oxy$. Шар проецируется в круг $(x-3)^2 + (y-4)^2 \le 25$, а плоскость — в прямую $3x+4y-25=0$. Эта прямая проходит через центр круга, разделяя его на два полукруга.

На рисунке синим цветом показана проекция части шара, для которой выполняется неравенство $3x+4y-25 \le 0$. Оранжевым цветом показана проекция части, для которой $3x+4y-25 \ge 0$. Красная линия — проекция секущей плоскости. Зеленый вектор — это вектор $\vec{OC}$.

Ответ:

Построение представлено на рисунке выше.