Номер 3.113, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.113. Определите координаты трех точек, лежащих на прямой:

1) $\begin{cases} 5x - y + 4z + 3 = 0, \\ x + 2y - z - 2 = 0; \end{cases}$

2) $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{5}$

3) $\begin{cases} x = 2 - 3t, \\ y = 3 + t, \\ z = 5t; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 6x - 3y + 2z = 0, \\ 2y + z + 3 = 0. \end{cases}$

1) Прямая задана как пересечение двух плоскостей, уравнения которых образуют систему:

$\begin{cases}5x - y + 4z + 3 = 0, \\x + 2y - z - 2 = 0;\end{cases}$

Чтобы найти координаты точек, лежащих на этой прямой, нужно найти частные решения этой системы уравнений. Мы можем задавать произвольное значение одной из координат и вычислять две другие.

Точка 1: Положим $z = 0$. Система примет вид:

$\begin{cases}5x - y + 3 = 0, \\x + 2y - 2 = 0;\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 2 - 2y$. Подставим в первое уравнение:

$5(2 - 2y) - y + 3 = 0$

$10 - 10y - y + 3 = 0$

$13 - 11y = 0 \implies y = \frac{13}{11}$

Тогда $x = 2 - 2(\frac{13}{11}) = \frac{22 - 26}{11} = -\frac{4}{11}$.

Первая точка: $A_1(-\frac{4}{11}, \frac{13}{11}, 0)$.

Точка 2: Положим $y = 0$. Система примет вид:

$\begin{cases}5x + 4z + 3 = 0, \\x - z - 2 = 0;\end{cases}$

Из второго уравнения $x = z + 2$. Подставим в первое:

$5(z + 2) + 4z + 3 = 0$

$5z + 10 + 4z + 3 = 0$

$9z + 13 = 0 \implies z = -\frac{13}{9}$

Тогда $x = -\frac{13}{9} + 2 = \frac{-13 + 18}{9} = \frac{5}{9}$.

Вторая точка: $A_2(\frac{5}{9}, 0, -\frac{13}{9})$.

Точка 3: Положим $x = 0$. Система примет вид:

$\begin{cases}-y + 4z + 3 = 0, \\2y - z - 2 = 0;\end{cases}$

Из первого уравнения $y = 4z + 3$. Подставим во второе:

$2(4z + 3) - z - 2 = 0$

$8z + 6 - z - 2 = 0$

$7z + 4 = 0 \implies z = -\frac{4}{7}$

Тогда $y = 4(-\frac{4}{7}) + 3 = -\frac{16}{7} + \frac{21}{7} = \frac{5}{7}$.

Третья точка: $A_3(0, \frac{5}{7}, -\frac{4}{7})$.

Ответ: Например, точки $A_1(-\frac{4}{11}, \frac{13}{11}, 0)$, $A_2(\frac{5}{9}, 0, -\frac{13}{9})$, $A_3(0, \frac{5}{7}, -\frac{4}{7})$.

2) Прямая задана каноническими уравнениями:

$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{5}$

Из этого уравнения видно, что прямая проходит через точку $M_0(3, -1, 1)$, а ее направляющий вектор $\vec{s} = (2, 3, 5)$.

Для нахождения других точек удобно перейти к параметрическим уравнениям, приравняв все части к параметру $t$:

$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{5} = t$

Отсюда получаем систему:

$\begin{cases}x = 2t + 3, \\y = 3t - 1, \\z = 5t + 1.\end{cases}$

Теперь, придавая параметру $t$ различные значения, найдем координаты трех точек.

Точка 1: При $t = 0$: $x=3, y=-1, z=1$. Получаем точку $A_1(3, -1, 1)$.

Точка 2: При $t = 1$: $x=2(1)+3=5, y=3(1)-1=2, z=5(1)+1=6$. Получаем точку $A_2(5, 2, 6)$.

Точка 3: При $t = -1$: $x=2(-1)+3=1, y=3(-1)-1=-4, z=5(-1)+1=-4$. Получаем точку $A_3(1, -4, -4)$.

Ответ: Например, точки $A_1(3, -1, 1)$, $A_2(5, 2, 6)$, $A_3(1, -4, -4)$.

3) Прямая задана параметрическими уравнениями:

$\begin{cases}x = 2 - 3t, \\y = 3 + t, \\z = 5t;\end{cases}$

Для нахождения координат точек на этой прямой достаточно подставить в уравнения любые три значения параметра $t$.

Точка 1: При $t = 0$: $x=2, y=3, z=0$. Получаем точку $A_1(2, 3, 0)$.

Точка 2: При $t = 1$: $x=2-3(1)=-1, y=3+1=4, z=5(1)=5$. Получаем точку $A_2(-1, 4, 5)$.

Точка 3: При $t = 2$: $x=2-3(2)=-4, y=3+2=5, z=5(2)=10$. Получаем точку $A_3(-4, 5, 10)$.

Ответ: Например, точки $A_1(2, 3, 0)$, $A_2(-1, 4, 5)$, $A_3(-4, 5, 10)$.

4) Прямая задана как пересечение двух плоскостей:

$\begin{cases}6x - 3y + 2z = 0, \\2y + z + 3 = 0.\end{cases}$

Аналогично пункту 1, найдем три решения системы. Удобно выразить одну переменную из второго уравнения, так как в нем отсутствует $x$.

Из второго уравнения: $z = -2y - 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$6x - 3y + 2(-2y - 3) = 0$

$6x - 3y - 4y - 6 = 0$

$6x - 7y - 6 = 0$

Теперь мы можем выбрать произвольное значение для одной из переменных ($x$ или $y$) и найти другую, а затем вычислить $z$.

Точка 1: Положим $y = 0$.

$6x - 7(0) - 6 = 0 \implies 6x = 6 \implies x = 1$.

$z = -2(0) - 3 = -3$.

Получаем точку $A_1(1, 0, -3)$.

Точка 2: Положим $y = 6$ для получения целых координат.

$6x - 7(6) - 6 = 0 \implies 6x - 42 - 6 = 0 \implies 6x = 48 \implies x = 8$.

$z = -2(6) - 3 = -12 - 3 = -15$.

Получаем точку $A_2(8, 6, -15)$.

Точка 3: Положим $x = 0$.

$6(0) - 7y - 6 = 0 \implies -7y = 6 \implies y = -\frac{6}{7}$.

$z = -2(-\frac{6}{7}) - 3 = \frac{12}{7} - \frac{21}{7} = -\frac{9}{7}$.

Получаем точку $A_3(0, -\frac{6}{7}, -\frac{9}{7})$.

Ответ: Например, точки $A_1(1, 0, -3)$, $A_2(8, 6, -15)$, $A_3(0, -\frac{6}{7}, -\frac{9}{7})$.