Страница 99 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как можно задать прямую в пространстве?

2. Напишите общее уравнение прямой.

3. Напишите параметрическое уравнение прямой.

4. Напишите каноническое уравнение прямой.

5. Как нужно понимать эти уравнения?

6. Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

1. Как можно задать прямую в пространстве?

Прямую в трехмерном пространстве можно определить несколькими способами. Основные из них:

Геометрически:

• Через две различные точки. Через любые две точки в пространстве проходит одна и только одна прямая.
• Через точку и направляющий вектор. Прямая однозначно определяется, если задана одна ее точка и вектор, параллельный этой прямой (направляющий вектор).
• Как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

Аналитически (с помощью уравнений):

• Общими уравнениями (как пересечение двух плоскостей).
• Параметрическими уравнениями.
• Каноническим уравнением.
• Уравнением прямой, проходящей через две точки.

Ответ:

2. Напишите общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой в пространстве задается системой двух линейных уравнений, каждое из которых является уравнением плоскости. Прямая рассматривается как линия пересечения этих двух плоскостей.

$ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} $

Здесь $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ — это нормальные векторы к первой и второй плоскостям соответственно. Для того чтобы плоскости пересекались по прямой, их нормальные векторы не должны быть коллинеарными, то есть их координаты не должны быть пропорциональны.

Ответ:

3. Напишите параметрическое уравнение прямой.

Параметрические уравнения прямой выражают координаты $x, y, z$ любой точки на прямой через некоторый параметр $t$. Для составления этих уравнений нужно знать координаты одной точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$, лежащей на прямой, и координаты направляющего вектора $\vec{s} = (l, m, n)$, параллельного этой прямой. Уравнения имеют вид:

$ \begin{cases} x = x_0 + l \cdot t \\ y = y_0 + m \cdot t \\ z = z_0 + n \cdot t \end{cases} $

где $t$ — параметр, который может принимать любые действительные значения ($t \in \mathbb{R}$). Каждому значению $t$ соответствует одна точка на прямой.

Ответ:

4. Напишите каноническое уравнение прямой.

Каноническое уравнение прямой также использует точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ на прямой и ее направляющий вектор $\vec{s} = (l, m, n)$. Оно выводится из параметрических уравнений путем исключения параметра $t$. Каноническое уравнение имеет вид:

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

Это уравнение показывает пропорциональность координат вектора, соединяющего точку $M_0$ с произвольной точкой прямой $M(x, y, z)$, и координат направляющего вектора. Если одна из координат направляющего вектора (например, $l$) равна нулю, то соответствующая часть уравнения записывается в виде $x - x_0 = 0$. Например, если $l=0$, а $m \neq 0, n \neq 0$, уравнение примет вид:

$x - x_0 = 0, \quad \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

Ответ:

5. Как нужно понимать эти уравнения?

Каждый вид уравнения прямой несет свой геометрический смысл:

• Общее уравнение следует понимать как определение прямой в качестве множества точек, которые одновременно принадлежат двум пересекающимся плоскостям. Направляющий вектор такой прямой перпендикулярен нормальным векторам обеих плоскостей и может быть найден как их векторное произведение $\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
• Параметрические уравнения описывают прямую как траекторию движения точки в пространстве. В момент времени $t=0$ точка находится в положении $M_0(x_0, y_0, z_0)$. Вектор $(x(t), y(t), z(t))$ является радиус-вектором точки в момент $t$. Этот вектор равен сумме радиус-вектора начальной точки $\vec{r_0}=(x_0, y_0, z_0)$ и вектора $t\vec{s}$, который указывает смещение вдоль направления прямой.
• Каноническое уравнение выражает условие коллинеарности (параллельности) двух векторов: вектора $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$, соединяющего фиксированную точку $M_0$ на прямой с любой другой точкой $M$ на этой же прямой, и направляющего вектора $\vec{s} = (l, m, n)$. Равенство отношений означает, что их соответствующие координаты пропорциональны.

Ответ:

6. Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть даны две различные точки в пространстве: $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$. Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через них, можно взять одну из точек (например, $M_1$) в качестве опорной точки, а в качестве направляющего вектора $\vec{s}$ использовать вектор, соединяющий эти две точки: $\vec{M_1M_2}$.

Координаты направляющего вектора будут:

$\vec{s} = \vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$

Подставив координаты точки $M_1$ и направляющего вектора $\vec{M_1M_2}$ в каноническое уравнение прямой, получим искомое уравнение:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Ответ:

3.113. Определите координаты трех точек, лежащих на прямой:

1) $\begin{cases} 5x - y + 4z + 3 = 0, \\ x + 2y - z - 2 = 0; \end{cases}$

2) $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{5}$

3) $\begin{cases} x = 2 - 3t, \\ y = 3 + t, \\ z = 5t; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 6x - 3y + 2z = 0, \\ 2y + z + 3 = 0. \end{cases}$

1) Прямая задана как пересечение двух плоскостей, уравнения которых образуют систему:

$\begin{cases}5x - y + 4z + 3 = 0, \\x + 2y - z - 2 = 0;\end{cases}$

Чтобы найти координаты точек, лежащих на этой прямой, нужно найти частные решения этой системы уравнений. Мы можем задавать произвольное значение одной из координат и вычислять две другие.

Точка 1: Положим $z = 0$. Система примет вид:

$\begin{cases}5x - y + 3 = 0, \\x + 2y - 2 = 0;\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 2 - 2y$. Подставим в первое уравнение:

$5(2 - 2y) - y + 3 = 0$

$10 - 10y - y + 3 = 0$

$13 - 11y = 0 \implies y = \frac{13}{11}$

Тогда $x = 2 - 2(\frac{13}{11}) = \frac{22 - 26}{11} = -\frac{4}{11}$.

Первая точка: $A_1(-\frac{4}{11}, \frac{13}{11}, 0)$.

Точка 2: Положим $y = 0$. Система примет вид:

$\begin{cases}5x + 4z + 3 = 0, \\x - z - 2 = 0;\end{cases}$

Из второго уравнения $x = z + 2$. Подставим в первое:

$5(z + 2) + 4z + 3 = 0$

$5z + 10 + 4z + 3 = 0$

$9z + 13 = 0 \implies z = -\frac{13}{9}$

Тогда $x = -\frac{13}{9} + 2 = \frac{-13 + 18}{9} = \frac{5}{9}$.

Вторая точка: $A_2(\frac{5}{9}, 0, -\frac{13}{9})$.

Точка 3: Положим $x = 0$. Система примет вид:

$\begin{cases}-y + 4z + 3 = 0, \\2y - z - 2 = 0;\end{cases}$

Из первого уравнения $y = 4z + 3$. Подставим во второе:

$2(4z + 3) - z - 2 = 0$

$8z + 6 - z - 2 = 0$

$7z + 4 = 0 \implies z = -\frac{4}{7}$

Тогда $y = 4(-\frac{4}{7}) + 3 = -\frac{16}{7} + \frac{21}{7} = \frac{5}{7}$.

Третья точка: $A_3(0, \frac{5}{7}, -\frac{4}{7})$.

Ответ: Например, точки $A_1(-\frac{4}{11}, \frac{13}{11}, 0)$, $A_2(\frac{5}{9}, 0, -\frac{13}{9})$, $A_3(0, \frac{5}{7}, -\frac{4}{7})$.

2) Прямая задана каноническими уравнениями:

$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{5}$

Из этого уравнения видно, что прямая проходит через точку $M_0(3, -1, 1)$, а ее направляющий вектор $\vec{s} = (2, 3, 5)$.

Для нахождения других точек удобно перейти к параметрическим уравнениям, приравняв все части к параметру $t$:

$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{5} = t$

Отсюда получаем систему:

$\begin{cases}x = 2t + 3, \\y = 3t - 1, \\z = 5t + 1.\end{cases}$

Теперь, придавая параметру $t$ различные значения, найдем координаты трех точек.

Точка 1: При $t = 0$: $x=3, y=-1, z=1$. Получаем точку $A_1(3, -1, 1)$.

Точка 2: При $t = 1$: $x=2(1)+3=5, y=3(1)-1=2, z=5(1)+1=6$. Получаем точку $A_2(5, 2, 6)$.

Точка 3: При $t = -1$: $x=2(-1)+3=1, y=3(-1)-1=-4, z=5(-1)+1=-4$. Получаем точку $A_3(1, -4, -4)$.

Ответ: Например, точки $A_1(3, -1, 1)$, $A_2(5, 2, 6)$, $A_3(1, -4, -4)$.

3) Прямая задана параметрическими уравнениями:

$\begin{cases}x = 2 - 3t, \\y = 3 + t, \\z = 5t;\end{cases}$

Для нахождения координат точек на этой прямой достаточно подставить в уравнения любые три значения параметра $t$.

Точка 1: При $t = 0$: $x=2, y=3, z=0$. Получаем точку $A_1(2, 3, 0)$.

Точка 2: При $t = 1$: $x=2-3(1)=-1, y=3+1=4, z=5(1)=5$. Получаем точку $A_2(-1, 4, 5)$.

Точка 3: При $t = 2$: $x=2-3(2)=-4, y=3+2=5, z=5(2)=10$. Получаем точку $A_3(-4, 5, 10)$.

Ответ: Например, точки $A_1(2, 3, 0)$, $A_2(-1, 4, 5)$, $A_3(-4, 5, 10)$.

4) Прямая задана как пересечение двух плоскостей:

$\begin{cases}6x - 3y + 2z = 0, \\2y + z + 3 = 0.\end{cases}$

Аналогично пункту 1, найдем три решения системы. Удобно выразить одну переменную из второго уравнения, так как в нем отсутствует $x$.

Из второго уравнения: $z = -2y - 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$6x - 3y + 2(-2y - 3) = 0$

$6x - 3y - 4y - 6 = 0$

$6x - 7y - 6 = 0$

Теперь мы можем выбрать произвольное значение для одной из переменных ($x$ или $y$) и найти другую, а затем вычислить $z$.

Точка 1: Положим $y = 0$.

$6x - 7(0) - 6 = 0 \implies 6x = 6 \implies x = 1$.

$z = -2(0) - 3 = -3$.

Получаем точку $A_1(1, 0, -3)$.

Точка 2: Положим $y = 6$ для получения целых координат.

$6x - 7(6) - 6 = 0 \implies 6x - 42 - 6 = 0 \implies 6x = 48 \implies x = 8$.

$z = -2(6) - 3 = -12 - 3 = -15$.

Получаем точку $A_2(8, 6, -15)$.

Точка 3: Положим $x = 0$.

$6(0) - 7y - 6 = 0 \implies -7y = 6 \implies y = -\frac{6}{7}$.

$z = -2(-\frac{6}{7}) - 3 = \frac{12}{7} - \frac{21}{7} = -\frac{9}{7}$.

Получаем точку $A_3(0, -\frac{6}{7}, -\frac{9}{7})$.

Ответ: Например, точки $A_1(1, 0, -3)$, $A_2(8, 6, -15)$, $A_3(0, -\frac{6}{7}, -\frac{9}{7})$.

3.114. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A и B:

1) A($0; -3; -2$), B($2; -1; 1$);

2) A($-1; 1; 1$), B($1; 2; 3$);

3) A($1; 0; -1$), B($2; 1; 0$);

4) A($-2; -3; 0$), B($0; 2; 1$).

Каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$, имеет вид:
$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} $
Здесь $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ — это координаты направляющего вектора прямой $\vec{AB}$. Обозначим его как $\vec{s} = (l; m; n)$. Тогда уравнение можно записать в виде:
$ \frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n} $
Для решения задачи мы будем находить направляющий вектор для каждой пары точек и подставлять его координаты, а также координаты одной из точек (например, точки А) в формулу.

1) Даны точки $A(0; -3; -2)$ и $B(2; -1; 1)$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:
$l = x_B - x_A = 2 - 0 = 2$
$m = y_B - y_A = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$
$n = z_B - z_A = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$
Направляющий вектор $\vec{s} = (2; 2; 3)$.
Подставим координаты точки $A(0; -3; -2)$ и направляющего вектора в каноническое уравнение прямой:
$ \frac{x - 0}{2} = \frac{y - (-3)}{2} = \frac{z - (-2)}{3} $
Ответ: $ \frac{x}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{3} $

2) Даны точки $A(-1; 1; 1)$ и $B(1; 2; 3)$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:
$l = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
$m = 2 - 1 = 1$
$n = 3 - 1 = 2$
Направляющий вектор $\vec{s} = (2; 1; 2)$.
Подставим координаты точки $A(-1; 1; 1)$ и направляющего вектора в каноническое уравнение:
$ \frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2} $
Ответ: $ \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2} $

3) Даны точки $A(1; 0; -1)$ и $B(2; 1; 0)$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:
$l = 2 - 1 = 1$
$m = 1 - 0 = 1$
$n = 0 - (-1) = 0 + 1 = 1$
Направляющий вектор $\vec{s} = (1; 1; 1)$.
Подставим координаты точки $A(1; 0; -1)$ и направляющего вектора в каноническое уравнение:
$ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - (-1)}{1} $
Ответ: $ \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{1} $

4) Даны точки $A(-2; -3; 0)$ и $B(0; 2; 1)$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:
$l = 0 - (-2) = 0 + 2 = 2$
$m = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$
$n = 1 - 0 = 1$
Направляющий вектор $\vec{s} = (2; 5; 1)$.
Подставим координаты точки $A(-2; -3; 0)$ и направляющего вектора в каноническое уравнение:
$ \frac{x - (-2)}{2} = \frac{y - (-3)}{5} = \frac{z - 0}{1} $
Ответ: $ \frac{x + 2}{2} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z}{1} $

3.115. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A параллельно вектору $\vec{p}$:

1) A(3; -3; 1), $\vec{p} = (3; 1; -2);$

2) A(1; 3; -5), $\vec{p} = (6; 1; 3);$

3) A(1; 2; 6), $\vec{p} = (7; 2; -3);$

4) A(-3; 4; 4), $\vec{p} = (2; -1; 3).$

Для того чтобы написать уравнение прямой, проходящей через заданную точку и параллельно заданному вектору, мы используем каноническое уравнение прямой в пространстве. Если прямая проходит через точку $A(x_0; y_0; z_0)$ и параллельна направляющему вектору $\vec{p} = (l; m; n)$, то ее уравнение имеет следующий вид:

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

В этой формуле $(x_0, y_0, z_0)$ являются координатами точки $A$, а $(l, m, n)$ — координатами направляющего вектора $\vec{p}$.

Применим эту формулу для решения каждого из подпунктов.

1) Дана точка $A(3; -3; 1)$ и вектор $\vec{p} = (3; 1; -2)$.

Координаты точки: $x_0 = 3, y_0 = -3, z_0 = 1$.

Координаты направляющего вектора: $l = 3, m = 1, n = -2$.

Подставляем эти значения в каноническое уравнение:

$\frac{x - 3}{3} = \frac{y - (-3)}{1} = \frac{z - 1}{-2}$

Упрощая выражение, получаем искомое уравнение прямой:

$\frac{x - 3}{3} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{-2}$

Ответ: $\frac{x - 3}{3} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 1}{-2}$.

2) Дана точка $A(1; 3; -5)$ и вектор $\vec{p} = (6; 1; 3)$.

Координаты точки: $x_0 = 1, y_0 = 3, z_0 = -5$.

Координаты направляющего вектора: $l = 6, m = 1, n = 3$.

Подставляем эти значения в каноническое уравнение:

$\frac{x - 1}{6} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - (-5)}{3}$

Упрощая выражение, получаем искомое уравнение прямой:

$\frac{x - 1}{6} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 5}{3}$

Ответ: $\frac{x - 1}{6} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 5}{3}$.

3) Дана точка $A(1; 2; 6)$ и вектор $\vec{p} = (7; 2; -3)$.

Координаты точки: $x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = 6$.

Координаты направляющего вектора: $l = 7, m = 2, n = -3$.

Подставляем эти значения в каноническое уравнение:

$\frac{x - 1}{7} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 6}{-3}$

Ответ: $\frac{x - 1}{7} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 6}{-3}$.

4) Дана точка $A(-3; 4; 4)$ и вектор $\vec{p} = (2; -1; 3)$.

Координаты точки: $x_0 = -3, y_0 = 4, z_0 = 4$.

Координаты направляющего вектора: $l = 2, m = -1, n = 3$.

Подставляем эти значения в каноническое уравнение:

$\frac{x - (-3)}{2} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 4}{3}$

Упрощая выражение, получаем искомое уравнение прямой:

$\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 4}{3}$

Ответ: $\frac{x + 3}{2} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 4}{3}$.

3.116. Определите координаты точки, лежащей на прямой $ \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{5} $ и имеющей:

1) абсциссу, равную 3;

2) ординату, равную -2.

Дано каноническое уравнение прямой в пространстве: $ \frac{x-3}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{5} $. Чтобы найти координаты точки, лежащей на этой прямой, необходимо подставить известную координату в уравнение и найти остальные.

1) Найдем координаты точки, у которой абсцисса (координата $x$) равна 3.
Подставим значение $x = 3$ в уравнение прямой:
$ \frac{3-3}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{5} $
Вычисляем левую часть уравнения:
$ \frac{0}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{5} $
$ 0 = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{5} $
Из этого равенства находим остальные координаты:
$ \frac{y+1}{3} = 0 \implies y+1=0 \implies y=-1 $
$ \frac{z-1}{5} = 0 \implies z-1=0 \implies z=1 $
Таким образом, координаты искомой точки $(3, -1, 1)$.
Ответ: $(3, -1, 1)$.

2) Найдем координаты точки, у которой ордината (координата $y$) равна -2.
Подставим значение $y = -2$ в уравнение прямой:
$ \frac{x-3}{2} = \frac{-2+1}{3} = \frac{z-1}{5} $
Вычисляем среднюю часть уравнения:
$ \frac{x-3}{2} = \frac{-1}{3} = \frac{z-1}{5} $
Из этого равенства составляем две пропорции и находим $x$ и $z$:
$ \frac{x-3}{2} = -\frac{1}{3} \implies 3(x-3) = -2 \implies 3x-9 = -2 \implies 3x = 7 \implies x = \frac{7}{3} $
$ \frac{z-1}{5} = -\frac{1}{3} \implies 3(z-1) = -5 \implies 3z-3 = -5 \implies 3z = -2 \implies z = -\frac{2}{3} $
Таким образом, координаты искомой точки $(\frac{7}{3}, -2, -\frac{2}{3})$.
Ответ: $(\frac{7}{3}, -2, -\frac{2}{3})$.