Вопросы?, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как можно задать прямую в пространстве?

2. Напишите общее уравнение прямой.

3. Напишите параметрическое уравнение прямой.

4. Напишите каноническое уравнение прямой.

5. Как нужно понимать эти уравнения?

6. Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

1. Как можно задать прямую в пространстве?

Прямую в трехмерном пространстве можно определить несколькими способами. Основные из них:

Геометрически:

• Через две различные точки. Через любые две точки в пространстве проходит одна и только одна прямая.
• Через точку и направляющий вектор. Прямая однозначно определяется, если задана одна ее точка и вектор, параллельный этой прямой (направляющий вектор).
• Как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

Аналитически (с помощью уравнений):

• Общими уравнениями (как пересечение двух плоскостей).
• Параметрическими уравнениями.
• Каноническим уравнением.
• Уравнением прямой, проходящей через две точки.

Ответ:

2. Напишите общее уравнение прямой.

Общее уравнение прямой в пространстве задается системой двух линейных уравнений, каждое из которых является уравнением плоскости. Прямая рассматривается как линия пересечения этих двух плоскостей.

$ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} $

Здесь $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$ — это нормальные векторы к первой и второй плоскостям соответственно. Для того чтобы плоскости пересекались по прямой, их нормальные векторы не должны быть коллинеарными, то есть их координаты не должны быть пропорциональны.

Ответ:

3. Напишите параметрическое уравнение прямой.

Параметрические уравнения прямой выражают координаты $x, y, z$ любой точки на прямой через некоторый параметр $t$. Для составления этих уравнений нужно знать координаты одной точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$, лежащей на прямой, и координаты направляющего вектора $\vec{s} = (l, m, n)$, параллельного этой прямой. Уравнения имеют вид:

$ \begin{cases} x = x_0 + l \cdot t \\ y = y_0 + m \cdot t \\ z = z_0 + n \cdot t \end{cases} $

где $t$ — параметр, который может принимать любые действительные значения ($t \in \mathbb{R}$). Каждому значению $t$ соответствует одна точка на прямой.

Ответ:

4. Напишите каноническое уравнение прямой.

Каноническое уравнение прямой также использует точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ на прямой и ее направляющий вектор $\vec{s} = (l, m, n)$. Оно выводится из параметрических уравнений путем исключения параметра $t$. Каноническое уравнение имеет вид:

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

Это уравнение показывает пропорциональность координат вектора, соединяющего точку $M_0$ с произвольной точкой прямой $M(x, y, z)$, и координат направляющего вектора. Если одна из координат направляющего вектора (например, $l$) равна нулю, то соответствующая часть уравнения записывается в виде $x - x_0 = 0$. Например, если $l=0$, а $m \neq 0, n \neq 0$, уравнение примет вид:

$x - x_0 = 0, \quad \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$

Ответ:

5. Как нужно понимать эти уравнения?

Каждый вид уравнения прямой несет свой геометрический смысл:

• Общее уравнение следует понимать как определение прямой в качестве множества точек, которые одновременно принадлежат двум пересекающимся плоскостям. Направляющий вектор такой прямой перпендикулярен нормальным векторам обеих плоскостей и может быть найден как их векторное произведение $\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.
• Параметрические уравнения описывают прямую как траекторию движения точки в пространстве. В момент времени $t=0$ точка находится в положении $M_0(x_0, y_0, z_0)$. Вектор $(x(t), y(t), z(t))$ является радиус-вектором точки в момент $t$. Этот вектор равен сумме радиус-вектора начальной точки $\vec{r_0}=(x_0, y_0, z_0)$ и вектора $t\vec{s}$, который указывает смещение вдоль направления прямой.
• Каноническое уравнение выражает условие коллинеарности (параллельности) двух векторов: вектора $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$, соединяющего фиксированную точку $M_0$ на прямой с любой другой точкой $M$ на этой же прямой, и направляющего вектора $\vec{s} = (l, m, n)$. Равенство отношений означает, что их соответствующие координаты пропорциональны.

Ответ:

6. Напишите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пусть даны две различные точки в пространстве: $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и $M_2(x_2, y_2, z_2)$. Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через них, можно взять одну из точек (например, $M_1$) в качестве опорной точки, а в качестве направляющего вектора $\vec{s}$ использовать вектор, соединяющий эти две точки: $\vec{M_1M_2}$.

Координаты направляющего вектора будут:

$\vec{s} = \vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$

Подставив координаты точки $M_1$ и направляющего вектора $\vec{M_1M_2}$ в каноническое уравнение прямой, получим искомое уравнение:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Ответ: