Номер 3.119, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.119. Напишите каноническое уравнение прямой, содержащей медиану $AA_1$ треугольника $ABC$, вершины которого имеют координаты:

1) $A(-2; 3; 5)$, $B(4; -3; 0)$, $C(0; 6; -5)$;

2) $A(2; 0; 4)$, $B(3; 1; 2)$, $C(0; -3; -1)$.

1) Даны вершины треугольника ABC: $A(-2; 3; 5)$, $B(4; -3; 0)$, $C(0; 6; -5)$.
Медиана $AA_1$ соединяет вершину A с серединой стороны BC, точкой $A_1$.
Найдем координаты точки $A_1$, как середины отрезка BC, по формулам:
$x_{A_1} = \frac{x_B + x_C}{2}$; $y_{A_1} = \frac{y_B + y_C}{2}$; $z_{A_1} = \frac{z_B + z_C}{2}$.
$x_{A_1} = \frac{4 + 0}{2} = 2$
$y_{A_1} = \frac{-3 + 6}{2} = \frac{3}{2}$
$z_{A_1} = \frac{0 + (-5)}{2} = -\frac{5}{2}$
Таким образом, координаты точки $A_1$ равны $(2; \frac{3}{2}; -\frac{5}{2})$.
Прямая, содержащая медиану $AA_1$, проходит через две точки: $A(-2; 3; 5)$ и $A_1(2; \frac{3}{2}; -\frac{5}{2})$.
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $\vec{s}=(l; m; n)$, имеет вид:
$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$.
В качестве направляющего вектора $\vec{s}$ для прямой $AA_1$ можно взять вектор $\vec{AA_1}$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AA_1}$:
$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (2 - (-2); \frac{3}{2} - 3; -\frac{5}{2} - 5) = (4; -\frac{3}{2}; -\frac{15}{2})$.
Чтобы избавиться от дробей в координатах направляющего вектора, можно использовать любой коллинеарный ему вектор. Умножим координаты вектора $\vec{AA_1}$ на 2. Получим новый направляющий вектор $\vec{s'}$:
$\vec{s'} = 2 \cdot \vec{AA_1} = (8; -3; -15)$.
Теперь запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $A(-2; 3; 5)$ с направляющим вектором $\vec{s'}=(8; -3; -15)$:
$\frac{x - (-2)}{8} = \frac{y - 3}{-3} = \frac{z - 5}{-15}$.
Ответ: $\frac{x + 2}{8} = \frac{y - 3}{-3} = \frac{z - 5}{-15}$.

2) Даны вершины треугольника ABC: $A(2; 0; 4)$, $B(3; 1; 2)$, $C(0; -3; -1)$.
Найдем координаты точки $A_1$, середины стороны BC:
$x_{A_1} = \frac{3 + 0}{2} = \frac{3}{2}$
$y_{A_1} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$z_{A_1} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}$
Таким образом, координаты точки $A_1$ равны $(\frac{3}{2}; -1; \frac{1}{2})$.
Прямая, содержащая медиану $AA_1$, проходит через две точки: $A(2; 0; 4)$ и $A_1(\frac{3}{2}; -1; \frac{1}{2})$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AA_1}$:
$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (\frac{3}{2} - 2; -1 - 0; \frac{1}{2} - 4) = (-\frac{1}{2}; -1; -\frac{7}{2})$.
Умножим координаты вектора $\vec{AA_1}$ на -2, чтобы получить более простой коллинеарный направляющий вектор $\vec{s'}$:
$\vec{s'} = -2 \cdot \vec{AA_1} = (1; 2; 7)$.
Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $A(2; 0; 4)$ с направляющим вектором $\vec{s'}=(1; 2; 7)$:
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z - 4}{7}$.
Ответ: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 4}{7}$.