Номер 3.114, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.114. Напишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точки A и B:

1) A($0; -3; -2$), B($2; -1; 1$);

2) A($-1; 1; 1$), B($1; 2; 3$);

3) A($1; 0; -1$), B($2; 1; 0$);

4) A($-2; -3; 0$), B($0; 2; 1$).

Каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$, имеет вид:
$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} $
Здесь $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ — это координаты направляющего вектора прямой $\vec{AB}$. Обозначим его как $\vec{s} = (l; m; n)$. Тогда уравнение можно записать в виде:
$ \frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n} $
Для решения задачи мы будем находить направляющий вектор для каждой пары точек и подставлять его координаты, а также координаты одной из точек (например, точки А) в формулу.

1) Даны точки $A(0; -3; -2)$ и $B(2; -1; 1)$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:
$l = x_B - x_A = 2 - 0 = 2$
$m = y_B - y_A = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$
$n = z_B - z_A = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$
Направляющий вектор $\vec{s} = (2; 2; 3)$.
Подставим координаты точки $A(0; -3; -2)$ и направляющего вектора в каноническое уравнение прямой:
$ \frac{x - 0}{2} = \frac{y - (-3)}{2} = \frac{z - (-2)}{3} $
Ответ: $ \frac{x}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z + 2}{3} $

2) Даны точки $A(-1; 1; 1)$ и $B(1; 2; 3)$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:
$l = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
$m = 2 - 1 = 1$
$n = 3 - 1 = 2$
Направляющий вектор $\vec{s} = (2; 1; 2)$.
Подставим координаты точки $A(-1; 1; 1)$ и направляющего вектора в каноническое уравнение:
$ \frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2} $
Ответ: $ \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2} $

3) Даны точки $A(1; 0; -1)$ и $B(2; 1; 0)$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:
$l = 2 - 1 = 1$
$m = 1 - 0 = 1$
$n = 0 - (-1) = 0 + 1 = 1$
Направляющий вектор $\vec{s} = (1; 1; 1)$.
Подставим координаты точки $A(1; 0; -1)$ и направляющего вектора в каноническое уравнение:
$ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - (-1)}{1} $
Ответ: $ \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{1} $

4) Даны точки $A(-2; -3; 0)$ и $B(0; 2; 1)$.
Найдем координаты направляющего вектора $\vec{AB}$:
$l = 0 - (-2) = 0 + 2 = 2$
$m = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$
$n = 1 - 0 = 1$
Направляющий вектор $\vec{s} = (2; 5; 1)$.
Подставим координаты точки $A(-2; -3; 0)$ и направляющего вектора в каноническое уравнение:
$ \frac{x - (-2)}{2} = \frac{y - (-3)}{5} = \frac{z - 0}{1} $
Ответ: $ \frac{x + 2}{2} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z}{1} $