Номер 3.112, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.112. Напишите уравнение сферы, пересекающей плоскость $O xy$ по окружности $x^2 + y^2 - 2x - 10y + 23 = 0$ и проходящей через точку $M(1; 5; 1)$.

Искомая сфера принадлежит пучку сфер, проходящих через заданную окружность. Окружность задана как пересечение плоскости $Oxy$ (уравнение $z=0$) и поверхности $x^2 + y^2 - 2x - 10y + 23 = 0$.

Заметим, что уравнение $x^2 + y^2 - 2x - 10y + 23 = 0$ в пространстве описывает круговой цилиндр, ось которого параллельна оси $Oz$. Окружность, данная в условии, является линией пересечения этого цилиндра с плоскостью $z=0$.

Другой способ задать эту окружность — это пересечение плоскости $P: z=0$ и некоторой сферы $S_1=0$. В качестве $S_1$ можно взять сферу, уравнение которой получается добавлением члена $z^2$ к уравнению цилиндра: $S_1: x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 10y + 23 = 0$. Действительно, при $z=0$ это уравнение превращается в уравнение данной окружности.

Уравнение любой поверхности, проходящей через линию пересечения $S_1=0$ и $P=0$, можно записать в виде пучка поверхностей: $S_1 + \lambda P = 0$.

Подставим уравнения $S_1$ и $P$:

$(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 10y + 23) + \lambda(z) = 0$

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 10y + \lambda z + 23 = 0$

Это уравнение представляет собой сферу для любого значения параметра $\lambda$, так как коэффициенты при $x^2$, $y^2$ и $z^2$ равны единице. Нам нужно найти такое значение $\lambda$, при котором сфера проходит через точку $M(1; 5; 1)$.

Подставим координаты точки $M$ в уравнение пучка сфер:

$1^2 + 5^2 + 1^2 - 2(1) - 10(5) + \lambda(1) + 23 = 0$

$1 + 25 + 1 - 2 - 50 + \lambda + 23 = 0$

$(1 + 25 + 1 - 2 - 50 + 23) + \lambda = 0$

$-2 + \lambda = 0$

Отсюда находим $\lambda = 2$.

Подставив найденное значение $\lambda=2$ обратно в уравнение пучка, получаем уравнение искомой сферы:

$x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 10y + 2z + 23 = 0$

Можно также представить это уравнение в каноническом виде, выделив полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - 10y + 25) - 25 + (z^2 + 2z + 1) - 1 + 23 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 - 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 4$

Это сфера с центром в точке $(1; 5; -1)$ и радиусом $R=2$.

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 10y + 2z + 23 = 0$ или $(x - 1)^2 + (y - 5)^2 + (z + 1)^2 = 4$.