Номер 3.107, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.107. Задайте системой неравенств часть шара, ограниченного сферой $x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$ и координатными плоскостями.

Сначала проанализируем уравнение сферы, ограничивающей шар. Уравнение дано в виде $x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0$.

Для нахождения центра и радиуса сферы приведем это уравнение к каноническому виду $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$. Для этого выделим полный квадрат по переменной $z$:

$x^2 + y^2 + (z^2 - 4z + 4) - 4 = 0$

$x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4$

$x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 2^2$

Из канонического уравнения видно, что центр сферы находится в точке $C(0, 0, 2)$, а ее радиус равен $R = 2$.

Шар представляет собой множество всех точек, находящихся внутри и на поверхности сферы. Следовательно, точки $(x, y, z)$, принадлежащие шару, удовлетворяют неравенству:

$x^2 + y^2 + (z - 2)^2 \le 4$

В исходной форме это неравенство записывается как $x^2 + y^2 + z^2 - 4z \le 0$.

Далее, условие "ограниченного ... и координатными плоскостями" означает, что мы рассматриваем часть шара, находящуюся в первом октанте, где координаты $x, y, z$ неотрицательны. Эта область пространства задается неравенствами:

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$.

Теперь объединим все условия в одну систему. Искомая часть шара — это пересечение множества точек шара и множества точек первого октанта. Таким образом, координаты точек этой части шара должны удовлетворять системе:

$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 - 4z \le 0 \\x \ge 0 \\y \ge 0 \\z \ge 0\end{cases}$

Проверим, нет ли в этой системе избыточных неравенств. Из неравенства шара $x^2 + y^2 + (z-2)^2 \le 4$ следует, что $(z-2)^2 \le 4 - x^2 - y^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$, то $4 - x^2 - y^2 \le 4$. Значит, $(z-2)^2 \le 4$. Это двойное неравенство $|z-2| \le 2$, которое равносильно $-2 \le z-2 \le 2$, или $0 \le z \le 4$.

Таким образом, условие $z \ge 0$ автоматически выполняется для любой точки шара, и его можно исключить из системы как избыточное. Итоговая система неравенств, описывающая заданную часть шара, будет содержать только независимые условия.

Ответ:$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 - 4z \le 0 \\x \ge 0 \\y \ge 0\end{cases}$