Номер 3.100, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.100. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно вектору $ \vec{OM} $:

1) $ M(-1; 2; 0) $;

2) $ M(3; -4; 0) $;

3) $ M(0; 1; -2) $;

4) $ M(2; -5; 3) $.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, задается формулой:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

По условию задачи, плоскость проходит через точку $M$ и перпендикулярна вектору $\vec{OM}$. Это значит, что в качестве точки $M_0$ мы берем точку $M(x_0, y_0, z_0)$, а в качестве вектора нормали $\vec{n}$ — вектор $\vec{OM}$. Поскольку точка $O$ — это начало координат $O(0, 0, 0)$, то координаты вектора $\vec{OM}$ совпадают с координатами точки $M$. Таким образом, $\vec{n} = \vec{OM} = (x_0, y_0, z_0)$.

1) M(-1; 2; 0)

Точка на плоскости: $M_0(-1, 2, 0)$, поэтому $x_0 = -1, y_0 = 2, z_0 = 0$.
Вектор нормали: $\vec{n} = \vec{OM} = (-1, 2, 0)$, поэтому $A = -1, B = 2, C = 0$.
Подставляем эти значения в уравнение плоскости:
$-1(x - (-1)) + 2(y - 2) + 0(z - 0) = 0$
$-1(x + 1) + 2(y - 2) = 0$
$-x - 1 + 2y - 4 = 0$
$-x + 2y - 5 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1:
$x - 2y + 5 = 0$

Ответ: $x - 2y + 5 = 0$.

2) M(3; -4; 0)

Точка на плоскости: $M_0(3, -4, 0)$, поэтому $x_0 = 3, y_0 = -4, z_0 = 0$.
Вектор нормали: $\vec{n} = \vec{OM} = (3, -4, 0)$, поэтому $A = 3, B = -4, C = 0$.
Подставляем эти значения в уравнение плоскости:
$3(x - 3) - 4(y - (-4)) + 0(z - 0) = 0$
$3(x - 3) - 4(y + 4) = 0$
$3x - 9 - 4y - 16 = 0$
$3x - 4y - 25 = 0$

Ответ: $3x - 4y - 25 = 0$.

3) M(0; 1; -2)

Точка на плоскости: $M_0(0, 1, -2)$, поэтому $x_0 = 0, y_0 = 1, z_0 = -2$.
Вектор нормали: $\vec{n} = \vec{OM} = (0, 1, -2)$, поэтому $A = 0, B = 1, C = -2$.
Подставляем эти значения в уравнение плоскости:
$0(x - 0) + 1(y - 1) - 2(z - (-2)) = 0$
$y - 1 - 2(z + 2) = 0$
$y - 1 - 2z - 4 = 0$
$y - 2z - 5 = 0$

Ответ: $y - 2z - 5 = 0$.

4) M(2; -5; 3)

Точка на плоскости: $M_0(2, -5, 3)$, поэтому $x_0 = 2, y_0 = -5, z_0 = 3$.
Вектор нормали: $\vec{n} = \vec{OM} = (2, -5, 3)$, поэтому $A = 2, B = -5, C = 3$.
Подставляем эти значения в уравнение плоскости:
$2(x - 2) - 5(y - (-5)) + 3(z - 3) = 0$
$2(x - 2) - 5(y + 5) + 3(z - 3) = 0$
$2x - 4 - 5y - 25 + 3z - 9 = 0$
$2x - 5y + 3z - 38 = 0$

Ответ: $2x - 5y + 3z - 38 = 0$.