Номер 3.99, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.99. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору $\overrightarrow{AB}$:

1) A(1; 2; -2), B(3; 0; 4);

2) A(0; 3; -4), B(2; 5; 4).

1)

Общее уравнение плоскости, которая проходит через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и перпендикулярна вектору нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Согласно условию задачи, искомая плоскость проходит через точку $A(1; 2; -2)$ и перпендикулярна вектору $\vec{AB}$. Это означает, что точка $A$ является точкой $M_0$, через которую проходит плоскость, а вектор $\vec{AB}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к этой плоскости.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты его начальной точки $A(1; 2; -2)$ и конечной точки $B(3; 0; 4)$: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3 - 1; 0 - 2; 4 - (-2)) = (2; -2; 6)$.

Таким образом, вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (2; -2; 6)$. Точка, через которую проходит плоскость, — $A(1; 2; -2)$.

Теперь подставим координаты точки $A(x_0=1, y_0=2, z_0=-2)$ и координаты вектора нормали $\vec{n}(A=2, B=-2, C=6)$ в уравнение плоскости: $2(x - 1) - 2(y - 2) + 6(z - (-2)) = 0$ $2(x - 1) - 2(y - 2) + 6(z + 2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $2x - 2 - 2y + 4 + 6z + 12 = 0$ $2x - 2y + 6z + 14 = 0$

Для упрощения уравнения разделим все его члены на 2: $x - y + 3z + 7 = 0$.

Ответ: $x - y + 3z + 7 = 0$.

2)

Действуем аналогично первому пункту. Искомая плоскость проходит через точку $A(0; 3; -4)$ и перпендикулярна вектору $\vec{AB}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты его начала $A(0; 3; -4)$ и конца $B(2; 5; 4)$: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - 0; 5 - 3; 4 - (-4)) = (2; 2; 8)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ совпадает с вектором $\vec{AB}$, то есть $\vec{n} = (2; 2; 8)$. Плоскость проходит через точку $A(0; 3; -4)$.

Подставим координаты точки $A(x_0=0, y_0=3, z_0=-4)$ и вектора $\vec{n}(A=2, B=2, C=8)$ в уравнение плоскости $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$: $2(x - 0) + 2(y - 3) + 8(z - (-4)) = 0$ $2x + 2(y - 3) + 8(z + 4) = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение: $2x + 2y - 6 + 8z + 32 = 0$ $2x + 2y + 8z + 26 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2: $x + y + 4z + 13 = 0$.

Ответ: $x + y + 4z + 13 = 0$.