Страница 95 - гдз по геометрии 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.93. Напишите уравнение плоскости по начальной точке $M_0$ и вектору нормали $\vec{n}$:

1) $M_0(1; 2; 3)$, $\vec{n}=(2; 1; 4)$;

2) $M_0(-2; 0; 2)$, $\vec{n}=(0; 3; -2)$;

3) $M_0(-3; 1; -2)$, $\vec{n}=(-2; 0; 3)$;

4) $M_0(1; 1; -1)$, $\vec{n}=(1; 1; -1)$.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с вектором нормали $\vec{n} = (A, B, C)$, имеет вид:
$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

1) Даны точка $M_0(1; 2; 3)$ и вектор нормали $\vec{n} = (2; 1; 4)$.
Подставим координаты точки и вектора в общее уравнение плоскости:
$A=2, B=1, C=4$ и $x_0=1, y_0=2, z_0=3$.
$2(x - 1) + 1(y - 2) + 4(z - 3) = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$2x - 2 + y - 2 + 4z - 12 = 0$
$2x + y + 4z - 16 = 0$
Ответ: $2x + y + 4z - 16 = 0$.

2) Даны точка $M_0(-2; 0; 2)$ и вектор нормали $\vec{n} = (0; 3; -2)$.
Подставим координаты точки и вектора в общее уравнение плоскости:
$A=0, B=3, C=-2$ и $x_0=-2, y_0=0, z_0=2$.
$0(x - (-2)) + 3(y - 0) - 2(z - 2) = 0$
Раскроем скобки и упростим:
$0(x + 2) + 3y - 2z + 4 = 0$
$3y - 2z + 4 = 0$
Ответ: $3y - 2z + 4 = 0$.

3) Даны точка $M_0(-3; 1; -2)$ и вектор нормали $\vec{n} = (-2; 0; 3)$.
Подставим координаты точки и вектора в общее уравнение плоскости:
$A=-2, B=0, C=3$ и $x_0=-3, y_0=1, z_0=-2$.
$-2(x - (-3)) + 0(y - 1) + 3(z - (-2)) = 0$
Раскроем скобки и упростим:
$-2(x + 3) + 3(z + 2) = 0$
$-2x - 6 + 3z + 6 = 0$
$-2x + 3z = 0$
Можно умножить обе части уравнения на -1:
$2x - 3z = 0$
Ответ: $2x - 3z = 0$.

4) Даны точка $M_0(1; 1; -1)$ и вектор нормали $\vec{n} = (1; 1; -1)$.
Подставим координаты точки и вектора в общее уравнение плоскости:
$A=1, B=1, C=-1$ и $x_0=1, y_0=1, z_0=-1$.
$1(x - 1) + 1(y - 1) - 1(z - (-1)) = 0$
Раскроем скобки и упростим:
$x - 1 + y - 1 - (z + 1) = 0$
$x - 1 + y - 1 - z - 1 = 0$
$x + y - z - 3 = 0$
Ответ: $x + y - z - 3 = 0$.

3.94. Найдите координаты нескольких точек, принадлежащих и не принадлежащих данной плоскости:

1) $2x - 3y + z - 2 = 0;$

2) $x - z + 5 = 0;$

3) $2y - 3z + 5 = 0;$

4) $x + 7 = 0.$

1) Уравнение плоскости: $2x - 3y + z - 2 = 0$.
Точка с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ принадлежит плоскости, если при подстановке ее координат в уравнение плоскости получается верное равенство $2x_0 - 3y_0 + z_0 - 2 = 0$.

Найдем несколько точек, принадлежащих плоскости.
Для этого выберем произвольные значения для двух координат и вычислим третью.

• Пусть $x=0$ и $y=0$. Подставим в уравнение: $2(0) - 3(0) + z - 2 = 0$, откуда $z = 2$. Получаем точку $A(0, 0, 2)$.
• Пусть $x=1$ и $y=0$. Подставим в уравнение: $2(1) - 3(0) + z - 2 = 0$, откуда $2 + z - 2 = 0$ и $z = 0$. Получаем точку $B(1, 0, 0)$.

• Проверим точку $O(0, 0, 0)$: $2(0) - 3(0) + 0 - 2 = -2 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.
• Проверим точку $C(1, 1, 1)$: $2(1) - 3(1) + 1 - 2 = 2 - 3 + 1 - 2 = -2 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.

2) Уравнение плоскости: $x - z + 5 = 0$.
Это уравнение можно переписать как $z = x + 5$. Координата $y$ может быть любой, так как она не входит в уравнение. Это означает, что плоскость параллельна оси $Oy$.

Найдем несколько точек, принадлежащих плоскости.

• Пусть $x=0$. Тогда $z = 0 + 5 = 5$. Координату $y$ выберем произвольно, например $y=0$. Получаем точку $A(0, 0, 5)$.
• Пусть $x=-5$. Тогда $z = -5 + 5 = 0$. Координату $y$ выберем произвольно, например $y=10$. Получаем точку $B(-5, 10, 0)$.

• Проверим точку $O(0, 0, 0)$: $0 - 0 + 5 = 5 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.
• Проверим точку $C(1, 2, 3)$: $1 - 3 + 5 = 3 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.

3) Уравнение плоскости: $2y - 3z + 5 = 0$.
Координата $x$ не входит в уравнение, значит, она может быть любой, а плоскость параллельна оси $Ox$.

Найдем несколько точек, принадлежащих плоскости.
Выразим одну координату через другую, например, $3z = 2y + 5$ или $z = \frac{2y+5}{3}$.

• Пусть $y=2$. Тогда $z = \frac{2(2)+5}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Координату $x$ выберем произвольно, например $x=0$. Получаем точку $A(0, 2, 3)$.
• Пусть $y=5$. Тогда $z = \frac{2(5)+5}{3} = \frac{15}{3} = 5$. Координату $x$ выберем произвольно, например $x=-1$. Получаем точку $B(-1, 5, 5)$.

• Проверим точку $O(0, 0, 0)$: $2(0) - 3(0) + 5 = 5 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.
• Проверим точку $C(1, 1, 1)$: $2(1) - 3(1) + 5 = 2 - 3 + 5 = 4 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.

4) Уравнение плоскости: $x + 7 = 0$.
Это уравнение можно переписать как $x = -7$. Координаты $y$ и $z$ не входят в уравнение, значит, они могут быть любыми. Эта плоскость параллельна координатной плоскости $Oyz$.

Найдем несколько точек, принадлежащих плоскости.
Любая точка, у которой первая координата равна -7, будет принадлежать этой плоскости.

• Точка $A(-7, 0, 0)$.
• Точка $B(-7, 5, -3)$.

• Проверим точку $O(0, 0, 0)$: $0 + 7 = 7 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.
• Проверим точку $C(1, 1, 1)$: $1 + 7 = 8 \neq 0$. Точка не принадлежит плоскости.

3.95. Какая из точек A(2; -1; 3), B(0; 1; 4), C(-2; 2; 0), D(1; 1; -1) принадлежит плоскости $3x - y + z - 1 = 0$?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка плоскости, необходимо подставить координаты каждой точки в уравнение плоскости $3x - y + z - 1 = 0$. Если в результате подстановки получится верное равенство $0 = 0$, то точка принадлежит плоскости.

A(2; -1; 3)

Подставляем координаты точки A ($x=2, y=-1, z=3$) в уравнение плоскости:

$3 \cdot 2 - (-1) + 3 - 1 = 6 + 1 + 3 - 1 = 9$

Так как $9 \neq 0$, точка A не принадлежит данной плоскости.

Ответ: не принадлежит.

B(0; 1; 4)

Подставляем координаты точки B ($x=0, y=1, z=4$) в уравнение плоскости:

$3 \cdot 0 - 1 + 4 - 1 = 0 - 1 + 4 - 1 = 2$

Так как $2 \neq 0$, точка B не принадлежит данной плоскости.

Ответ: не принадлежит.

C(-2; 2; 0)

Подставляем координаты точки C ($x=-2, y=2, z=0$) в уравнение плоскости:

$3 \cdot (-2) - 2 + 0 - 1 = -6 - 2 - 1 = -9$

Так как $-9 \neq 0$, точка C не принадлежит данной плоскости.

Ответ: не принадлежит.

D(1; 1; -1)

Подставляем координаты точки D ($x=1, y=1, z=-1$) в уравнение плоскости:

$3 \cdot 1 - 1 + (-1) - 1 = 3 - 1 - 1 - 1 = 0$

Так как получилось верное равенство $0 = 0$, точка D принадлежит данной плоскости.

Ответ: принадлежит.

3.96. Определите координаты вектора нормали плоскости, заданной в задаче 3.94.

Для решения задачи 3.96 необходимо обратиться к условиям задачи 3.94, в которой требовалось составить уравнение плоскости. Условия задачи 3.94: найти уравнение плоскости, проходящей через точки $M_1(1; 2; 3)$ и $M_2(3; 2; 1)$ и перпендикулярной к плоскости $3x + 2y + 7z + 1 = 0$. В задаче 3.96 требуется определить координаты вектора нормали этой искомой плоскости.

Пусть $\vec{n} = (A, B, C)$ — искомый вектор нормали. По определению, вектор нормали перпендикулярен любому вектору, лежащему в его плоскости.

Поскольку искомая плоскость проходит через точки $M_1$ и $M_2$, вектор $\vec{M_1M_2}$ лежит в этой плоскости. Найдем его координаты:

$\vec{M_1M_2} = (3 - 1; 2 - 2; 1 - 3) = (2; 0; -2)$.

Искомая плоскость перпендикулярна плоскости $3x + 2y + 7z + 1 = 0$. Вектор нормали этой плоскости — $\vec{n_1} = (3; 2; 7)$. Если две плоскости перпендикулярны, то вектор нормали одной плоскости ($\vec{n_1}$) параллелен другой (искомой) плоскости.

Таким образом, искомый вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам, которые параллельны плоскости: $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{n_1}$. Следовательно, $\vec{n}$ можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & 7 \end{vmatrix}$

Раскрывая определитель, получаем:

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 7 - (-2) \cdot 2) - \mathbf{j}(2 \cdot 7 - (-2) \cdot 3) + \mathbf{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 3) = 4\mathbf{i} - 20\mathbf{j} + 4\mathbf{k}$

Таким образом, координаты вектора нормали равны $\vec{n} = (4; -20; 4)$. В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный ему вектор. Для упрощения разделим все координаты на 4, получив вектор $(1; -5; 1)$.

Ответ: $(1; -5; 1)$.

3.97. Напишите уравнение сферы по координатам центра $C$ и радиусу $R$:

1) $C(0; 0; 0)$, $R = 5$;

2) $C(1; -2; -3)$, $R = 9$;

3) $C(-2; 1; 4)$, $R = 3$;

4) $C(2; -2; 0)$, $R = 2$;

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Для нахождения уравнения сферы в каждом конкретном случае необходимо подставить координаты центра $C$ и значение радиуса $R$ в эту формулу.

1)Дано: центр $C(0; 0; 0)$ и радиус $R = 5$.
Подставляем координаты центра $x_0 = 0, y_0 = 0, z_0 = 0$ и радиус $R = 5$ в общую формулу уравнения сферы:
$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 5^2$
После упрощения получаем:
$x^2 + y^2 + z^2 = 25$
Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 = 25$

2)Дано: центр $C(1; -2; -3)$ и радиус $R = 9$.
Подставляем координаты центра $x_0 = 1, y_0 = -2, z_0 = -3$ и радиус $R = 9$ в общую формулу:
$(x - 1)^2 + (y - (-2))^2 + (z - (-3))^2 = 9^2$
После упрощения получаем:
$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 = 81$
Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 = 81$

3)Дано: центр $C(-2; 1; 4)$ и радиус $R = 3$.
Подставляем координаты центра $x_0 = -2, y_0 = 1, z_0 = 4$ и радиус $R = 3$ в общую формулу:
$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 + (z - 4)^2 = 3^2$
После упрощения получаем:
$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 4)^2 = 9$
Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 4)^2 = 9$

4)Дано: центр $C(2; -2; 0)$ и радиус $R = 2$.
Подставляем координаты центра $x_0 = 2, y_0 = -2, z_0 = 0$ и радиус $R = 2$ в общую формулу:
$(x - 2)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 0)^2 = 2^2$
После упрощения получаем:
$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4$
Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 + z^2 = 4$

3.98. Напишите неравенство, определяющее шар, ограниченный сферой, заданной в 3.97.

Для решения данной задачи необходимо уравнение сферы, которое было задано в задаче 3.97. Поскольку это уравнение не предоставлено, мы дадим развернутое объяснение в общем виде.

Сфера представляет собой геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Каноническое уравнение сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ записывается как:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Это уравнение описывает только точки на поверхности сферы.

Шар, в свою очередь, это пространственное тело, которое включает в себя все точки, находящиеся на ограничивающей его сфере, а также все точки внутри этой сферы. Иными словами, для любой точки $M(x, y, z)$, принадлежащей шару, ее расстояние до центра $C(x_0, y_0, z_0)$ должно быть меньше или равно радиусу $R$.

Расстояние между точкой $M$ и центром $C$ определяется по формуле $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2}$.

Условие того, что точка $M(x, y, z)$ принадлежит шару, можно записать в виде неравенства:

$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2} \le R$

Возводя обе части этого неравенства в квадрат (что является корректной операцией, так как обе части неотрицательны), мы получаем искомое неравенство, определяющее шар:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \le R^2$

Следовательно, чтобы записать неравенство для шара, ограниченного сферой из задачи 3.97, нужно сначала привести уравнение этой сферы к каноническому виду, чтобы определить ее центр и радиус, а затем заменить в уравнении знак равенства на знак «меньше или равно».

Ответ:

Если уравнение сферы, ограничивающей шар, имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, то неравенство, определяющее этот шар, записывается как $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \le R^2$.

3.99. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору $\overrightarrow{AB}$:

1) A(1; 2; -2), B(3; 0; 4);

2) A(0; 3; -4), B(2; 5; 4).

1)

Общее уравнение плоскости, которая проходит через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и перпендикулярна вектору нормали $\vec{n} = (A; B; C)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

Согласно условию задачи, искомая плоскость проходит через точку $A(1; 2; -2)$ и перпендикулярна вектору $\vec{AB}$. Это означает, что точка $A$ является точкой $M_0$, через которую проходит плоскость, а вектор $\vec{AB}$ является вектором нормали $\vec{n}$ к этой плоскости.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты его начальной точки $A(1; 2; -2)$ и конечной точки $B(3; 0; 4)$: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3 - 1; 0 - 2; 4 - (-2)) = (2; -2; 6)$.

Таким образом, вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (2; -2; 6)$. Точка, через которую проходит плоскость, — $A(1; 2; -2)$.

Теперь подставим координаты точки $A(x_0=1, y_0=2, z_0=-2)$ и координаты вектора нормали $\vec{n}(A=2, B=-2, C=6)$ в уравнение плоскости: $2(x - 1) - 2(y - 2) + 6(z - (-2)) = 0$ $2(x - 1) - 2(y - 2) + 6(z + 2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $2x - 2 - 2y + 4 + 6z + 12 = 0$ $2x - 2y + 6z + 14 = 0$

Для упрощения уравнения разделим все его члены на 2: $x - y + 3z + 7 = 0$.

Ответ: $x - y + 3z + 7 = 0$.

2)

Действуем аналогично первому пункту. Искомая плоскость проходит через точку $A(0; 3; -4)$ и перпендикулярна вектору $\vec{AB}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты его начала $A(0; 3; -4)$ и конца $B(2; 5; 4)$: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - 0; 5 - 3; 4 - (-4)) = (2; 2; 8)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ совпадает с вектором $\vec{AB}$, то есть $\vec{n} = (2; 2; 8)$. Плоскость проходит через точку $A(0; 3; -4)$.

Подставим координаты точки $A(x_0=0, y_0=3, z_0=-4)$ и вектора $\vec{n}(A=2, B=2, C=8)$ в уравнение плоскости $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$: $2(x - 0) + 2(y - 3) + 8(z - (-4)) = 0$ $2x + 2(y - 3) + 8(z + 4) = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение: $2x + 2y - 6 + 8z + 32 = 0$ $2x + 2y + 8z + 26 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2: $x + y + 4z + 13 = 0$.

Ответ: $x + y + 4z + 13 = 0$.